专题9第4讲转化与化归思想

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1、专题9第4讲转化与化归思想一、选择题1．在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)A．等腰直角三角形　　　B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形[答案]　C[解析]　∵2cosBsinA＝sinC，∴2··a＝c，∴a2＋c2－b2＝c2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．故选C.2．(2011·山东济宁)方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则实数k的取值范围为(　　)A．－1≤k≤B．－≤k≤0C．0≤k≤D．－≤k≤1[答案]　D[解析]　∵sin2x＋cosx

2、＋k＝0有解，∴k＝－sin2x－cosx＝cos2x－cosx－1＝2－，∵cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝时，kmin＝－；当cosx＝－1时，kmax＝1，∴k＝，故选D.3．不等式x2＋mx＋1>2x＋m对一切

3、m

4、≤2恒成立，则x的取值范围是(　　)A．－23或x<－1[答案]　D[解析]　令f(m)＝x2＋mx＋1－2x－m＝(x－1)m＋x2－2x＋1，则f(m)是关于m的一次函数，当

5、m

6、≤2时，不等式恒成立，等价于⇒，∴x>3或x<－1，故

7、选D.4．(2011·天津模拟)设a、b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值为(　　)A．－2B．－C．－3D．－[答案]　C[解析]　设a＋b＝k，与a2＋2b2＝6联立，得，消去b，得3a2－4ka＋2k2－6＝0.由上述关于a的一元二次方程有解，故Δ＝(－4k)2－4×3×(2k2－6)≥0.解之，得－3≤k≤3.∴a＋b的最小值为－3.故选C.5．(2011·杭州市模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　　)A．(－1,2)B．

8、(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案]　B[解析]　f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，依题意，f′(x)＝0有两个不相等实数根，所以Δ＝(2m)2－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.故选B.6．已知函数f(x)＝cosx，x∈(，3π)，若方程f(x)＝a有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a等于(　　)A.B.C．－D．－[答案]　C[解析]　设方程的3个根的坐标分别是x1、x2、x3，如图．因为y＝cosx的图象是轴对称图形，所以x1＋

9、x2＝2π，x2＋x3＝4π，又因为x1、x2、x3成等比数列，可解得x1＝，故a＝cos＝－.7．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]成立，则a的最小值为(　　)A．0B．－2C．－D．－3[答案]　C[解析]　法一：原不等式可转化为ax≥－x2－1，其中x∈(0，]，则又可化为a≥－(x＋)．由函数的单调性可得(－x－)max＝－－2＝－，因此a≥－.法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－.若－≥，即a≤－1时，可知f(x)在(0，)上是减函数，应有f()≥0⇒－≤a≤－1；若

10、－≤0，即a≥0时，可知f(x)在(0，)上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0；若0<－<，即－10，∴方程mx2－kx＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根的充要条件为，即由①②可得k

11、2>8m>4k，∴k>4，从而m>2，又m，k为整数，∴m≥3，k≥5.由③检验可知m最小值为6，k最小值为7，∴m＋k的最小值为13，选D.二、填空题9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案]　(－∞，0)[解析]　∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．10．(2011·山东聊城)若f(x)是定义在R上的

12、函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2012)＝________.[答案]　2012[解析]　∵f(x＋1)≤f(x＋3)－2≤f(x)＋3－2＝f(x)＋1，f(x＋1)≥f(x＋4)－3≥f(x＋2)＋2－3≥f(x)＋4－3＝f(x)＋1，∴f(x)＋1≤f(x＋1)≤f(x)＋1.∴f(x＋1)＝f(x)＋1.∴数列{f(n)}为等差数列．∴f(2012)＝f(1)＋2