备战2021届高考数学二轮复习热点难点02 函数的性质及其应用（解析版）.docx

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1、专题02函数的性质及其应用专题点拨1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，以及图像的对称性，简化研究的范围，事半功倍.3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌.5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏

2、，分段分析，整体把握；6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.真题赏析1．(2018·上海)设常数，函数．若的反函数的图像经过点，则_______．【答案】【解析】，的反函数的图象经过点∴的图象经过点，，解得．2．(2018·上海)设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）.A.　　　　B．　　　　C．　　　　D．【答案】B【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转后与下一个点会重合，我们可以通过代入和赋值的方法当时，此时得到的圆心角为，，，然而此时或者时，都有个

3、与之对应，而函数的定义就是要求一个只能对应一个因此只有当，此时旋转，此时满足一个只会对应一个，因此选B．例题剖析【例1】（2018·黄浦区二模）已知函数（1）求函数的反函数；（2）试问:函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根满足:，且，求实数的值．【解析】(1)当时，.由，得，互换，可得.当时，.由，得，互换，可得.(2)答函数图像上存在两点关于原点对称.设点是函数图像上关于原点对称的点，则，即，解得，且满足.因此，函数图像上存在点关于原点对称.(3)考察函数与函数的图像，可得当时，有，原方程可化为，解得，

4、且由，得.当时，有，原方程可化为，化简得，解得(当时，).于是，.由，得，解得.因为，故不符合题意，舍去；，满足条件.因此，所求实数.【变式训练1】（2018·徐汇区二模）已知函数，其定义域为，(1)当时，求函数的反函数；(2)如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．【解析】(1)；(2)若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是，于是当或，即或时，函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．综上，．【例2】已知集合是满足下列性质的函数(定义域为D)的全体：存在非零常数，对任意，有

5、成立．(1)判断函数是否属于集合；(2)证明，并找到一个常数.【解析】(1).假设，得.于是，一方面，，另一方面，.这是矛盾！故.(2)若，则有，取，则满足，即.【变式训练2】定义区间(m，n)、[m，n]、(m，n]、[m，n)的长度均为n-m，已知不等式76-x≥1的解集为A．(1)求A的长度；(2)函数f(x)=(a2+a)x-1a2x(a∈R，a≠0)的定义域与值域都是[m，n](n>m)，求区间[m，n]的最大长度.【解析】(1)∵不等式76-x≥1的解集为A．76-x≥1，∴76-x-1=7-6+x6-x=x+16-x≥0，∴x+1x-6≤0，∴-1≤x<6，∴A={

6、x

7、-1≤x<6}，∴集合A的长度为：6-(-1)=7．(2)函数f(x)=(a2+a)x-1a2x(a∈R，a≠0)的定义域是{x

8、x≠0}，∵函数f(x)=(a2+a)x-1a2x(a∈R，a≠0)的定义域与值域都是[m，n](n>m)，∴[m，n]⊆(-∞，0)∪(0，+∞)，化简，得：f(x)=a2x+ax-1a2x=1+aa-1a2x在区间[m，n]上都是单调递增，∴f(m)=nf(n)=m，∴m，n是方程f(x)=1+aa-1a2x=x的同号相异的实数根，∴m，n是方程(ax)2-(a2+a)x+1=0同号相异的实数根，∴mn=1a2，m+n=1+aa，只需要△>0，

9、即(a2+a)2-4a2>0，解得a>1或a<-3，∴n-m=(n+m)2-4mn=-3(1a-13)2+43，∴n-m的最大值为233，此时a=3．∴区间[m，n]的最大长度为233．【例3】（2019·浦东新区一模）已知函数f(x)=x4x2+16，x≥2(12)

10、x-a

11、，x<2，若对任意的x1∈[2，+∞)，都存在唯一的x2∈(-∞，2)，满足f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围为______．【答案】[-2，6)【解析】解：当x1∈[2，+∞)时，x116+4x1