备战2021届高考数学二轮复习热点难点10 圆锥曲线的性质及其应用（解析版）.docx

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1、专题10圆锥曲线的性质及其应用专题点拨1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线的轨迹定义来解决问题.2．弦长公式：斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长:

2、AB

3、＝=·

4、x1－x2

5、＝·

6、y1－y2

7、(k≠0)．3.涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．真题赏析1．(2018·上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为　　．【答案】【解析】由

8、a=2,b=1，故渐近线方程为.2．(2017·上海)设双曲线－＝1(b>0)的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若

9、PF1

10、＝5，则

11、PF2

12、＝__________．【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.例题剖析【例1】设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为________．【答案】【解析】如图所示：设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝45°⇒CD＝1，DB＝1，A

13、D＝3，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系得C(1，1)，2a＝4，把C(1，1)代入椭圆标准方程得＋＝1，a2＝b2＋c2⇒b2＝，c2＝⇒2c＝.【变式训练1】设P是椭圆+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A.B.2C.2D.4【答案】C【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为2.【例2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支分别交于，两点，△的内切圆半径为，△的内切圆半径为，若，则直线的斜率为　　．【答案】【解析】记△的内切圆圆心

14、为，边、、上的切点分别为、、，易见、横坐标相等，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，，于是，得，同样内心的横坐标也为，则有轴，设直线的倾斜角为，则，，在中，，在中，，由，可得，解得，则直线的斜率为，由对称性可得直线的斜率为．故答案为：．【变式训练2】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和.若的渐近线方程为，则的渐近线方程为__________．【答案】y＝±x　【解析】　设C1的方程为－＝1，则它的渐近线为y＝±x，即b＝a.有－＝1，又∵P的纵坐标是Q的2

15、倍，横坐标相同．∴C2的方程为－＝1，故渐近线方程为y＝±x.【例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是　　．【答案】4【解析】抛物线，，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，，，故答案为：4．【变式训练3】已知抛物线的焦点为，该抛物线上点的横坐标为2，则　　．【答案】3【解析】抛物线的准线方程为：，到焦点的距离等于到准线的距离，的横坐标是2，．故答案为：3．【例4】椭圆C：（）过点，且右焦点为，过的直线与椭圆C相交于A、B两点，设

16、点，记、的斜率分别为和；（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线的斜率等于，求出的值；（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出的取值范围；【解析】（1），，故椭圆的方程为.（2）直线：，设，，由，消得，有，，所以.（3）当直线的斜率不存在时，不妨设，，则，，故.当直线斜率存在时，设为，则直线：.设，，由，消得，有，，则.巩固训练一、填空题1.已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为　　．【答案】【解析】双曲线的两条渐近线的方程为：，所对应的直线的倾斜角分别为，双曲线的两条渐近线的夹角为，故

17、答案为：．2.若直线经过抛物线的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为　　．【答案】【解析】抛物线的焦点为，方向向量为的直线的斜率为1，故直线的方程是，即，故答案为：．3.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是　　．【答案】【解析】抛物线的焦点为，则双曲线的焦点在轴上，双曲线的一条渐近线为，可得，由题意双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，可得，解得，，则双曲线的方程为：．故答案为：．4.已知点，，，分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点作的平行线

18、，它与椭圆在第一象限部分交于点，若，则实数的值为　　．【答案】【解析】如图，，，，则，，，由，得，即，，．则．故答案为：．5.已知椭圆，直线，则椭圆上点到这条直线的最短距离是　　．【答案】【解析】由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交，设直线平行于直线，则直线的方程可以写成（1）由方程组消去，得（2）令方程（2）的根的判别式△，得（3）解方程（3）得或，当时，直线与椭圆交点到直线的距离最近，此时直线的方程为，直线与直线间的距离，故答案为：．二、选择题6.已知椭圆的左右焦点分别为、，点