备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题17 等价转化思想（原卷版）.docx

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1、专题17等价转化思想专题点拨1.等价转化思想的原则：①熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．②简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．③具体原则：转化方向应由抽象到具体．④和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．⑤正难则反的原则

2、：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．2.等价转化思想常用到的方法：①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．②换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．③数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．④构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．⑤坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何

3、问题，是转化方法的一个重要途径．⑥类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．⑦特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．⑧等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．⑨加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．⑩补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题

4、的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA使原问题得以解决．例题剖析【例1】已知函数，求证中至少有一个数不小于．【变式训练1】若关于的不等式的解集是非空集合，求实数的取值范围．【例2】已知f(x)为定义在实数集R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞f(0)对所有的θ∈[0，]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．【例3】已知函数对任意的，恒有.(1)证明：当时，；(2)若对满足题设条件的任意，不等式恒

5、成立，求实数的最小值.巩固训练一、填空题1．已知y＝f(x)是定义在(－2，2)上的增函数，若f(m－1)＜f(1－2m)，则m的取值范围是________．2．若关于x、y的方程组无解，则实数a＝________．3．函数f(x)＝sin2x＋cosx－(x∈[0，])的最大值是________．4．在平面直角坐标系xOy中，若△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.5.若等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则＝________.6．（2019·浦东新区二模）已知

6、f(x)=2x2+2x+b是定义在[-1,0]上的函数,若f[f(x)]≤0在定义域上恒成立,而且存在实数x0满足：f[f(x0)]=x0且f(x0)≠x0,则实数b的取值范围是______．二、选择题7．若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)A．2　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．28．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1在x∈(0，＋∞)上的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是(　　)A．2－2＜m＜2＋2B．m＜2C．m＜2＋2D．m≥2＋29．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径

7、为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A．πB.C.D.三、解答题10.定义在上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0)时，f(x)＝－(a∈R)，求f(x)在(0，1]上的最大值．11.已知函数的图像过点A（2，1）和B（5，2）(1)求函数f（x）的解析式；(2)记，n∈N*，是否存在正数k，使得（１＋（１＋……（１＋≥k对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．新题速递1．（2019•崇明区三模）已知定义在上的增函数满足，若实数、满足不等式（a）（b），则的最小值是　　．2．（2019•金山区二

8、模）若实数、满足，则的取值范围是　　A．，B．C．D．3．（2020•徐汇区一模）若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是　　A．B．C．，，D．，，