北师大版高中数学数列的综合应用名师精编检测卷.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯数列的合用[授提示:学生用第238页]1.(2017·西省第二次四校考山)已知等比数列{an}的各均正数,a1=1,公比q;S2等差数列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n和Sn,a3+S3=27,q=a2.(1)求{an}与{bn}的通公式;(2)数列{cn}足cn=3,求{cn}的前n和Tn.2Sn解析:(1)数列{bn}的公差d,∵a3+S3=27,q=S2,a2∴q2+3d=18,6+d=q2,立方程可求得q=3,d=3,n-1,bn=3n.∴an=3(2)由意得:Sn=n3+3n,cn=

2、332111,2=··=-2Sn23nn+1nn+1∴T=1-1+1-1+1-1+⋯+1-1=1-1=nn22334nn+1n+1n+1.2.(2017·州市合广(一))已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中.(1)求数列{an}的通公式;(2)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n和Tn.解析:(1)数列{an}的公比q,因a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.因a3+2是a2和a4的等差中,所以2(a3+2)=a2+a4.即2(4q+2)=4+4q2,化得q2-2q=0.因公比q≠0,所以q=2.所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n(n∈

3、N*).n(2)因an=2,所以bn=2log2an-1=2n-1,n所以anbn=(2n-1)2,则Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①2Tn=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.②由①-②得,-Tn=2+2×22+2×23+⋯+2×2n-(2n-1)2n+1n-141-2n+1=2+2×-(2n-1)2=-6-(2n-3)2n+1,所以Tn=6+(2n-3)2n+1.3.(2016全·国卷甲)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}

4、的前10和,其中[x]表示不超x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解析:(1)数列{an}的首a1,公差d,2a1+5d=4,a1=1,2由意有解得a1+5d=3,d=5.所以{an}的通公式2n+3an=5.(2)由(1)知,bn=2n+3.51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2n+3当n=1,2,3,1≤<2,bn=1;52n+3当n=4,5,2≤<3,bn=2;52n+3当n=6,7,8,3≤<4,bn=3;5当n=9,10,4≤2n+35<5,bn=4.所以数列{bn}的前10和1×3+2×2+3×3+4×2=

5、24.4.某集打算投72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种12万美元,以后每年增加4万美元,每年售蔬菜收入50万美元,f(n)表示前n年的收入.[f(n)=前n年的收入-前n年的支出-投](1)从第几年开始取利?(2)若干年后,集开新目,有两种理方案:①年平均利最大以48万美元出售厂;②利和最大,以16万美元出售厂.哪种方案最合算?解析:由意,知每年的是以12首,4公差的等差数列.利与年数的关系f(n),则f(n)=50n-12n+nn-1×4-72=-2n2+40n-72.2(1)取利就是要求f(n)>0,故有-2n2+40n-72>0,解得2

6、2)①平均利fn=40-2n+36≤16,当且当n=6取等号.nn故此方案利6×16+48=144(万美元),此n=6,②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,当n=10,f(n)max=128.故此方案共利128+16=144(万美元).比两种方案,第①种方案只需6年,第②种方案需要10年,故第①种方案.15.(2017陕·西商洛模)已知函数f(x)足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=2.(1)当n∈N*,求f(n)的表达式;(2)当an=n·f(n),n∈N*,求:a1+a2+a3+⋯+an<2.解析:(1)令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f

7、(1)=1f(n),2∴{f(n)}是首1,公比1的等比数列,22∴f(n)=12n.(2)明:Tn为{an}的前n和,1n∵an=n·f(n)=n·2,112131n∴T=+2×+3×+⋯+n×,n222211213141n1n+12Tn=2+2×2+3×2+⋯+(n-1)×2+n×2,11121n1n+1两式相减得2Tn=2+2+⋯+2-n×2,∴Tn=2-1n-1-n×1n22<2.6.(2016四·川

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