高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.1.ppt

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1、§2标准正交基§3同构§4§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§52021/8/18一、欧氏空间的定义§9.1定义与基本性质二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间数学与计算科学学院问题的引入性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间　、1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量长度：都可以通过内积反映出来：夹角：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.数学与计算科

2、学学院满足性质：当且仅当时一、欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、　定义一个二元实函数，记作，若（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）数学与计算科学学院①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;③欧氏空间V是特殊的线性空间则称为和的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间.注：数学与计算科学学院例1．在中，对于向量当时，1）即为几何空间中内积在直角坐标系下的表达式.即这样对于内积　　　就成为一个欧氏空间.易证满足定义中的性质　～.1）定义（1）所以,为内积.数学与计算科学学院2）定义从而对于内积　　　也构成一

3、个欧氏空间.由于对未必有注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.易证满足定义中的性质　～.所以也为内积.数学与计算科学学院例2．为闭区间上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数，定义（2）则对于（2）作成一个欧氏空间.证：数学与计算科学学院且若则从而故因此，为内积，为欧氏空间.数学与计算科学学院推广：2.内积的简单性质V为欧氏空间，数学与计算科学学院2)欧氏空间V中，使得　　　有意义.二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在　向量　的长度（模）2.向量长度的定义称为向量的长度.特别地，当时，称为单位向量.数学与计算科学学院3.向量长度

4、的简单性质3）非零向量的单位化：（3）数学与计算科学学院1）在中向量与的夹角2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：此即,（4）数学与计算科学学院对欧氏空间V中任意两个向量，有（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当线性相关时等号成立.证：当时，结论成立.当时，作向量数学与计算科学学院由内积的正定性，对，皆有（6）取代入（6）式，得即两边开方，即得数学与计算科学学院当线性相关时，不妨设于是，(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知或者，或者也即线性相关.数学与计算科学学院3.柯西－布涅柯夫斯基不等

5、式的应用柯西不等式（7）1）数学与计算科学学院施瓦兹不等式由柯西－布涅柯夫斯基不等式有从而得证.证：在中，与的内积定义为2）数学与计算科学学院（7）证：两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量　　有3）三角不等式数学与计算科学学院设V为欧氏空间，为V中任意两非零向量，的夹角定义为4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：数学与计算科学学院①零向量与任意向量正交.注：②即.设为欧氏空间中两个向量，若内积则称与正交或互相垂直，记作定义2：数学与计算科学学院5.勾股定理设V为欧氏空间，证：数学与计算科学学院若欧氏空间V中向量两两正交，推广：则证：若则即数学与计算科学学院例3、已知在通常

6、的内积定义下，求解：又通常称　　　为　与　的距离，记作数学与计算科学学院设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中任意两个向量四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示令（8）数学与计算科学学院定义：矩阵称为基的度量矩阵.（9）则（10）数学与计算科学学院①度量矩阵A是实对称矩阵.②由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.注：事实上，对，即有为正定矩阵.③由（10）知，在基下，向量的内积由度量矩阵A完全确定.数学与计算科学学院④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设为欧氏空间V的两组基，它们的度量矩阵分别为A、B，且设则数学与计算科学学院于是数学与计算科学学院欧氏空间V的子空间在所V中定义的内

7、积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.五、欧氏空间的子空间数学与计算科学学院数学与计算科学学院