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1、第十章无穷级数小结结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.收敛发散性质5级数收敛的必要条件:注意2.必要条件而非充分条件.1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;常用来证明级数发散正项级数审敛法1.2.比较判别法：3.比较法极限形式：注意:交错级数：注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散绝对收敛：条件收敛：注意:结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛关系：补充定理如果任意项级数满足条件定理（Dirichelet判别法）定理（Abe
2、l判别法）若（1）为单调有界数列，提示:由定义在区间I上的函数列{un(x)}所构成的表达式u1(x)u2(x)u3(x)un(x)函数项级数的概念函数项级数=u1(x)u2(x)u3(x)un(x),xI.收敛点与发散点提示:对于每一个确定的值x0I,函数项级数成为常数项级数u1(x0)u2(x0)u3(x0)un(x0),这个常数项级数或者收敛或者发散.使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点;使函数项级数发散的点x0称为函数项
3、级数的发散点.收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域.函数项级数的和函数函数项级数的部分和和函数的定义域就是级数的收敛域.在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称为函数项级数∑un(x)的和函数,并写成s(x)=∑un(x).函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x),即sn(x)=u1(x)u2(x)u3(x)un(x).在收敛域上有sn(x)s(x)(n).注:函数项级数的余项函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x),它是和函数s(x)与部分
4、和sn(x)的差:rn(x)s(x)sn(x).在收敛域上有rn(x)0(n).函数项级数的和函数函数项级数的部分和和函数的定义域就是级数的收敛域.在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称为函数项级数∑un(x)的和函数,并写成s(x)=∑un(x).函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x),即sn(x)=u1(x)u2(x)u3(x)un(x).在收敛域上有sn(x)s(x)(n).定义2则称函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定命
5、题1：一致收敛性充分条件：命题2：不一致收敛性充分条件：命题3：不一致收敛的极限形式：定理2(一致收敛的柯西准则)函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为:对任,存在正整数给的正数，使当对一切和或定理中当p=1时,得到函数项级数一致收敛的一个必要条件（定理1）:一致收敛的函数项级数的通项在收敛域上一致趋于零。函数项级数一致收敛判别法定理3（强级数判别法(Weierstrass)判别法）一致收敛性简便的判别法：定理4（狄利克雷判别法）设⑴∑un(x)的部分和函数列在I上一致有界；⑵对每一个x∈I，{Sn(x)
6、}是单调的；⑶{vn(x)}在I上一致收敛于0，则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I上一致收敛．定理5（阿贝尔判别法）设⑴∑un(x)在区间I上一致收敛；⑵对每一个x∈I，{vn(x)}是单调的；⑶{vn(x)}在I上一致有界，即存在M>0,使得对任何x∈I，
7、vn(x)
8、≤M,n=1,2,...则函数项级数∑un(x)vn(x)在数集I上一致收敛．一致收敛函数项级数的性质定理（连续性）若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续．注意：1.和函数的连
9、续性是连续的函数项级数一致收敛的必要条件。2.在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即推论设X是一区间（开，闭，或半开半闭），若函数项级数∑un(x)在X上连续，但其和函数在X上不连续．则级数在X上不一致收敛注意：推论是定理6的逆否命题。判别函数项级数不一致收敛的充分条件。定理7(逐项求积）定理8(逐项求导）此时正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?（－R，R）称为幂级数的收敛区间收敛区域＝收敛区间＋收敛的区间端点定理2，3幂级数的性质则在(R,R)与(R,R)中较
10、小的区间内有加法：减法：乘法：a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2···(a0bna1bn1···anb0)xn···幂级数的运算：定理4幂级数的一致收敛性（幂级数在收敛区间上的内闭一致性）且收敛半径仍为R.且收敛半径仍为R.注意：若函数能展开成幂级数，则其系数唯一。定理2称为n阶余项.微分型余项关于余项拉格朗日型余项柯西型余项函数f(x)展开成幂级数的具体步骤
