无穷级数内容小结.doc

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1、1.数项级数：，称为前n项部分和。若存在常数s,使，则称级数收敛，s为该级数的和；否则级数发散。2.数项级数性质：1)=C；2)若级数，收敛于，则级数收敛于；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。5）若级数收敛，必有3．两个重要级数：1）几何级数：=()若级数收敛，其和为，若级数发散。2）p级数：=（p>0）若p>1,级数收敛；若，级数发散；当p=1时，调和级数发散。4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有，称级数为正项级数方法：1）比较审敛法：设和都是正项级数，且（n=1,2,…）若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则发散。2）

2、比较审敛法的极限形式：若，则和同时收敛或同时发散。3）比值审敛法：若，则若p<1,级数收敛；若，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。4根值审敛法：若，则若p<1,级数收敛；若，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。5.交错级数的莱布尼茨审敛法：设为交错级数，若1)对一切N有；2），则级数收敛，且其和.6.级数的绝对收敛和条件收敛：若收敛，则级数绝对收敛；若收敛，而发散，则级数条件收敛。7．幂级数的收敛半径收敛区间：对任意一个幂级数，都存在一个R,使对一切都有级数绝对收敛，而当时级数发散。称R为该幂级数的收敛半径，（-R,R）为收敛区间。当幂级数只在x=0一点收敛时，R

3、=0;当对一切x幂级数都收敛时8.收敛半径、区间的求法：对幂级数，若，则当为非零正数时，;当时，；当时，R=09.幂级数的性质：1）（和函数连续性）设幂级数的收敛半径为R(),其和函数s(x)在(-R,R)内连续。若它在x=R(或-R)处收敛，则s(x)在上连续。2）（逐项积分）==，且前后收敛半径相同3）逐项可导：===，且前后收敛半径相同10.函数的幂级数展开式：f(x)在点附近有任意阶导数，称幂级数+++为处的泰勒级数，并称（）为处的泰勒系数，特别地，当时，称幂级数+++为的马克劳林级数，并称为的马克劳林系数。11.常用函数幂级数展开式：==1+，；==，==，==，；==，==，=

4、=1+，12.求函数幂级数展开式的方法：1）直接展开法求各阶导数，代入泰勒级数并检查泰勒余项的区间。2）间接展开法利用函数与已知幂级数展开式的函数之间关系及其在收敛区间的性质求得。13.傅里叶级数：设是以为周期的周期函数，由公式（（所确定的系数称为的傅里叶系数，称由上述傅里叶系数确定的级数为的傅里叶级数。14.傅里叶级数的收敛定理：设是以为周期的周期函数，若满足1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期内至多有有限个极值点，则的傅里叶级数在收敛，且当得连续点时，级数收敛于；当得间断点时，级数收敛于。15.正弦级数：，其中（余弦级数：，其中（