专接本-高数第一章-函数-极限-连续.doc

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1、第一篇高等数学第一章函数极限连续第一节函数一、基本知识1．函数的概念（1）定义设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为其中称为自变量，称为因变量，称为定义域，记作,即．函数定义中，对于每一个．按照对应法则，总有唯一确定的值与之对应，这个值称为函数在处的函数值，记作，即．因变量与自变量的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值的全体构成集合称为函数的值域，记作或，即．（2）函数的常用表示法①公式法：如等，②表格法：如三角函数表、对数表等，③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等．（3

2、）分段函数　　定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数．函数关系不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数，无论它分多少段，它总是一个函数，不是几个函数．两个函数相同它们的对应关系相同、定义域相同．如与不相同．2．函数的简单性质（1）定义域自变量的取值范围，每个函数都有其定义域，定义域不同，即使定义法则一样，两个函数也不是相等的．如一些基本初等函数，观察其定义域根

3、式，分式，三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数，幂函数，幂指函数（注意：无意义）（2）值域因变量的取值范围,它由函数定义域和定义法则同时决定．（3）有界性设函数的定义域为，数集如果存在数，使得对任一都成立，则称函数在上有上界，而称为函数在的一个上界；如果存在数使得对任一都成立，则称函数在上有下界，而称为函数在上的一个下界．即：如果存在正数，使得对任一都成立，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就称函数在上无界；这就是说，如果对于任何正数总存在，使，那么就称函数在上无界．①有界性与区间有关，如在上有界，但在上

4、无界．②若函数在上有一个界，则比大的数都可以作为它的界，即界不唯一．③在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是情况下，分别是．④在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”．（4）单调性设函数的定义域为，区间，如果对于区间上任意两点，当，恒有，则称在区间上是单调增加；如果对于区间上任意两点，当，恒有，则称在上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论．）（5）奇偶性设函数的定义域关于坐标原点对称．如果对任一

5、，恒成立，则称为偶函数；如果对任一，恒成立，则称为奇函数．函数奇偶性判断方法：①根据奇偶性定义：如证得，那么此函数为偶函数，如证得，那么此函数为奇函数．②根据四则运算：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，奇＋偶＝非奇非偶．　　　　　　　　　奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．　　　③指数运算用除法：，举例：运用,得为奇函数．④对数运算用加法：，举例运用,得为奇函数．注意：A奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于轴对称，B奇、偶函数的运算性质：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个

6、偶函数的积是偶函数；奇函数与偶函数之积是奇函数，C函数奇偶性的判定依据：1．定义；2．常见的奇、偶函数及奇、偶函数的运算性质等．如等是奇函数；而是偶函数．（特别要说的是，0是既奇又偶的函数）（6）周期性设函数的定义域为．如果存在一个正数，使得对于任一有，且恒成立，则称为周期函数．为的周期，通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期．这里我们总结一个正弦函数的周期公式：表示的是上下移动，表示的是振幅，表示的水平移动．，与三角函数周期有关．一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不

7、是周期函数．周期函数在每一个周期上的图形是相同的．例如：是周期函数．不是周期函数．3．反函数设函数是单射，则它存在映射，称此映射为函数的反函数．例如：与互为反函数；与互为反函数．4．基本初等函数（l）幂函数，（为常数）幂函数的定义域需要根据的值来定．如在整个实轴上有定义，而仅在上有定义．但无论为什么数，在上总是有定义的．最常见的几个幂函数的图形如图1-1所示．（2）指数函数（常数）指数函数的定义域为，值域为．当时，指数函数是单调减少的；当时，指数函数是单调增加的．它的图形都经过点．见图1-2．（3）对数函数（常

8、数）对数函数是指数函数的反函数．它的定义域为，值域为．当时，是单调减少的；当时，是单调增加的，它的图形都经过点见图1-3．当底数为时，简记为．即．（4）三角函数．正弦函数，定义域为．值域为，它是奇函数，以为周期的周期函数．图形见1-4．余弦函数，定义域为，值域为，它是偶函数，以为周期的周期函数．图形见图1-5．正切函数，定义域为，值域为．它是奇函数，以为周期的周期函数．图形见图1-6．