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1、圆锥曲线中最值问题解题策略 摘要:圆锥曲线是高考必考内容,以椭圆、双曲线、抛物线为载体,考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型,它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力。关键词:圆锥曲线;最值问题中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1006-3315(2013)03-018-002圆锥曲线是高考必考内容,以椭圆、双曲线、抛物线为载体,考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型,它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查同学们的思维能力、实
2、践和创新能力。下面例析与圆锥曲线有关的最值问题。一、构造函数法例1:(2013模拟试题)已知椭圆C:■+■=1(a>b>0),F1、F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,△F1PF2的重心为G,内心I,且有■=λ■(其中λ为实数)。(1)求椭圆C的离心率e;(2)过焦点F2的直线l与椭圆C相交于点M、N,若△F1MN面积的最大值为3,求椭圆C的方程。7解析:本题(1)问中,根据△F1PF2重心、内心满足■=λ■,即与G、I的纵坐标相同,从而可以求出内切圆半径,通过求△F1PF2的面积可以得到一个a与c的关系式,求出离心率e;第(2)问给出△F1MN面积的最大值,应构
3、造△F1MN面积关于直线l斜率倒数m的函数关系式,通过求函数的最大值,求出椭圆的方程。解:(1)设P(x0,y0),焦点F1(-c,0)、F2(c,0)∴重心为G(■,■),又∵■=λ■,所以内心I的纵坐标为■∴S△F1PF2=■
4、F1F2
5、·
6、y0
7、=■(
8、PF1
9、+
10、PF2
11、+
12、F1F2
13、)
14、■
15、∴2c·3=2a+2c,∴e=■=■(2)由(1)可设椭圆C的方程为:■+■=1(c>0),直线l方程为:x=my+c且直线l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2)由■+■=1x=my+c得:(4+3m)y2+6mcy-9c2=0∴y1+y2=-■,y1y2=-■∴
16、S△F1MN=
17、F1F2
18、·
19、y1-y2
20、=c■=12c2■令m2+1=t,则有t≥1且m2=t-1∴■=g(t)=■=■=■易知g(t)在[1,+∞)单调递减,∴g(t)max=g(1)=■7∴S△F1MN的最大值为12c2·■=3c2∵△F1MN面积的最大值为3∴c2=1∴椭圆C的方程为■+■=1点评:圆锥曲线中的有些最值问题,可以把所求最值问题转化为函数的最值问题,通过解决某些函数(比如二次函数、反比例函数、双勾函数等)的最值问题得到所求结果。二、不等式法例2:(2012浙江五校改编)设椭圆■+■=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),直线l
21、:x=a2交x轴于点A,且■+■=0。(1)试求椭圆的方程;(2)过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示),试求四边形DEMN面积的最大值和最小值。7解析:本题(1)问中,根据■+■=■得到F2为AF1的中点,从而求出a;第(2)问四边形DEMN的面积S=■
22、DE
23、·
24、MN
25、,所以分别求出弦长
26、DE
27、、
28、MN
29、,并表示出面积关于斜率k的函数关系式,通过构造函数,利用基本不等式,函数自变量的取值范围及函数的单调性,求出面积的最大值和最小值。需要注意的是直线DE、MN斜率不存在时要单独考虑。解:(1)由题意,
30、F1F2
31、=2c=2,A(a
32、2,0)∵■+■=■∴F2为AF1的中点,∴a2=3,b2=2即椭圆方程为■+■=1(2)当直线DE与x轴垂直时,
33、DE
34、=■=■,此时
35、MN
36、=2a=2■,四边形DEMN的面积S=■
37、DE
38、·
39、MN
40、=4。同理当MN与x轴垂直时,也有四边形DEMN的面积S=■
41、DE
42、·
43、MN
44、=4。当直线DE,MN均与x轴不垂直时,设DE所在直线方程为:y=k(x+1),D(x1,y1),E(x2,y2),由■+■=1y=k(x+1)得(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0∴x1+x2=-■,x1x2=■∴
45、DE
46、=■
47、x1-x2
48、=■=■将上式的k代换成-■可得
49、MN
50、=■
51、=■∴四边形DEMN的面积S=■
52、DE
53、·
54、MN
55、=■·■·■=■令t=k2+■,得S=■=4-■∵t=k2+■≥2,且在[2,+∞)上单调递增,∴当t=2时S取得最小值■7∴在[2,+∞)上,■≤Sb>0)有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切。 (1)求m的值与椭圆E的方程;(2)设Q为椭圆E上的一动点,求■·■的取值范围。解析:本题(1)问根据点、椭圆、直线的位置关系求出相应的圆、椭圆的标准方程。第(2)问用坐标表示■·■的数量积,利用椭圆的参数方程求出最值。解:(1)∵A(3
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