2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题6 圆锥曲线中求直线问题（解析版）.doc

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1、专题6：圆锥曲线中求直线问题（解析版）一、单选题1．已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】设这条弦与椭圆交于，，由在椭圆内，由中点坐标公式知，，把，代入，可得，①②可得，，这条弦所在的直线方程为，即为.则所求直线方程为.19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：A2．椭圆：，过作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若与的面积之比5：3，則直线的斜率为（）A．1B．C．D．【

2、答案】C【分析】先由题意，设，，直线，联立直线方程，根据韦达定理，以及题中条件，得到，，即可求出结果.【详解】由题意，设，，直线，由消去，整理得，则，，解得；根据椭圆的对称性，可知，，在轴的同一侧，即同号；又与的面积之比5：3，即，则，代入可得，即，所以，又，所以，解得，即（满足）.19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆中的三角形面积比求直线斜率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.3．过点引直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（）条．A．B．C．D．【答案】C【分析】过点

3、的直线l与抛物线有且只有一个交点，则需分直线与抛物线对称轴平行、直线与抛物线相切两种情况讨论，特别要注意直线的斜率是否存在.【详解】（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，（2）当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程，消得：，则，解得：，即过的切线有2条，综上可得：过点与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条.故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了直线的斜率是否存在及直线与抛物线的对称轴是否平行，属易错题.二、解答题4．

4、已知点，点P到点F的距离比点P到y轴的距离多1，且点P的横坐标非负，点()；（1）求点P的轨迹C的方程；.19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）过点M作C的两条切线，切点为A，B，设的中点为N，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）直线的斜率为0.【分析】（1）设P()，则有，即可根据题意得，化简即可得出轨迹方程；（2）设的方程为，联立抛物线可得，同理设的方程为可得，进而得出，根据中点公式即可得出结果.【详解】解：（1）设点P的坐标为()，则有.点P到y轴的距离为，据题意有，化简可得，即点P的轨迹C的方程为.（

5、2）设过点M作抛物线C的切线的方程为，与抛物线C联立，可得.易知该方程仅有1个解，可得，即①，则有切点A的坐标为.设过点M作抛物线C的切线的方程为，则有②，且点B的坐标为.观察①②式，可知，为方程的两个解.根据韦达定理，可得，根据中点公式，可知点N的纵坐标为定值1，故可得直线的斜率恒为0.【点睛】19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！本题考查轨迹方程的求解，考查抛物线中的定值问题，属于较难题.5．在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为定值．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若，过点的直线交轨迹于、

6、两点，以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）用坐标表示直线与的斜率，因为直线与的斜率之积为定值，列出方程化简即轨迹方程；（2）讨论斜率为0与斜率不存在时不合题意，设直线方程为，利用根与系数的关系表示的中点，则可求出线段的中垂线的方程，进而得出直线与轴的交点，又，代入坐标计算求出斜率，得出直线的方程．【详解】（1）由题意，整理得，所以所求轨迹的方程为．（2）当直线与轴重合时，与轨迹无交点，不合题意；当直线与轴垂直时，，此时，，以为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合

7、题意；当直线与轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线，，，的中点，19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由消得，由得所以，则线段的中垂线的方程为：，整理得直线，则直线与轴的交点，注意到以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，当且仅当，即，，①由②将②代入①解得，即直线的方程为．综上，所求直线的方程为或．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查动点的轨迹方程，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．6．已知，是椭圆的左、右焦点，圆19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.（1

8、）求椭圆的标准方程；（2）过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A，B，若，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）依题意，求得，将点代入椭圆方程，即可求得和，求得椭圆方程；（2）设出直线l的方程，根据直线与圆的关系，求得，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，