2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题9 圆锥曲线中的轨迹问题（解析版）.doc

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1、专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（解析版）一、单选题1．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（）A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．曲线的一支【答案】A【分析】先找出定点A和直线确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.【详解】如图，设与是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且的斜线，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点都在平面与平面的交线上.【点睛】本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重

2、考查直观想象的核心素养.2．棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（）A．B．C．D．1【答案】C【分析】本题首先可以根据题意确定当时直线9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所在平面区域，然后结合图像即可得出动点的轨迹所围成图形为，然后求出面积即可得出结果.【详解】如图，易知直线平面，故动点的轨迹所围成图形为，因为为边长为的正三角形，所以其面积，故选：C.【点睛】本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结

3、合思想，是中档题.3．如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线【答案】B【分析】作，，即为点到直线的距离，由勾股定理得9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，由已知，故，即到点的距离等于到的距离【详解】解：如图所示，在正方体中，作，垂足为，则平面，过作，则平面，则为点到直线的距离，由题意得，由已知得，所以，即到点的距离等于到的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B【

4、点睛】此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题二、填空题4．已知分别过点和点的两条直线相交于点，若直线与的斜率之积为-1，则动点的轨迹方程是________.【答案】【分析】9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设点，轨迹直线与的斜率之积为-1，即化简求解.【详解】设点，因为直线与的斜率之积为-1，所以，即，整理得：，所以动点的轨迹方程是，故答案为：【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是_

5、___________.【答案】【解析】试题分析：设动点，设与直线的切点为，则，即动点到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.考点：抛物线的定义及其标准方程.三、解答题6．圆C过点，，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【分析】9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.（2）设

6、出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.【详解】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1.的中点的横坐标和纵坐标分别为，.因此，直线m的方程为.即.又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组，解得所以圆心坐标为，又半径，则所求圆的方程是.（2）设线段的中点，M为线段的中点，则，解得代入圆C中得，即线段中点M的轨迹方程为.【点睛】9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.7．若平面内两定点，，动点满足

7、.（1）求点的轨迹方程；【答案】（1）；（2）45.【分析】（1）设，由结合两点间的距离公式代入计算可得点的轨迹方程；【详解】（1）设，由题意可知，整理得，即为点的轨迹方程【点睛】方法点睛：本题考查轨迹方程的求法，考查最值的应用，求轨迹方程的一般步骤是：1.建立合适的坐标系，设出动点的坐标；2.列出动点满足的关系式；3.依条件特点，选择距离公式或斜率公式等写出关于的方程并化简；4.检验或证明所求方程即为符合条件的方程．8．点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹方程.【答案】．【分析】把已知条件用方程表示

8、出来化简即得．【详解】由题意，化简得：．9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为：．9．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段上有一点，使得，（1）求的轨迹的方程；【答案】（1）；【分析】（1）先设，，根据题意，得到，，进而可求出结果；【详解】（1）设，，由题意可得，，，则，代入，整理得；即所求的轨迹的方程为