大数定律与中心极限定理.docx

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1、第四章大数定律与中心极限定理教学目的：1．使学员理解随机变量序列依概率收敛、按分布收敛的含义，知道两种收敛的关系，理解连续性定理的意义。2．使学员牢固掌握马尔科夫大数定律、辛钦大数定律及其证明、理解契贝晓夫、贝努力里大数定律的意义。3．使学员能熟练应用DeMoivre-Laplace中心极限定理作近似计算及解决生产、生活中的实际问题。4．使学员掌握、独立同分布场合下的Lindeberg-Leve中心极限定理的证明及应用，知道德莫佛—拉斯定理是其特例。本课程一开始引入事件与概率的概念时，我们就知道就一次试验而言，一个随机

2、事件可以出现也可不出现，但作大量的重复试验则呈现出明显的规律性——统计规律性。即，任一事件出现的频率是稳定于某一固定数的，这固定数就是该事件在一次试验下发生的概率，这里说的“频率稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，“大数定律”就是解释这一问题的。另外在前一章介绍正态分布时，我们一再强调正态分布在概率统计中的重要地位和作用，为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅是一些人的经验猜测还是确有理论依据，“中心极限定理”正是讨论这一问题的。§4.2*随机变量序列的两种收敛性假设1(),2(),,n(),是定

3、义在同一概率空间（，F,P）上的一列随机变量，显然，其中每个r.v，k()可以看成是定义在概率空间上的一个有限可测函数，因此，我们*§4.2使用的是原教材的编号，是方便学员看书复习。1可以象在实变函数论中对可测函数列定义收敛性一样，给出随机变量列{k()}的收敛性概念。以下我们讨论时，总假定r.v列{n}和r.v.都是定义在同一概率空间（，F,P）上的，对于某样本点0，显然{n(0)}可视为一普通实数列，(0)则可看作一实数，此时若有limn(0)(0)，则称随机变量列{n}在点0收敛到。若对任意，均有nlimn()(

4、)，则称{n}在上点点收敛到。但在本章的讨论中，我们没有必n要对{n}要求这么高，一般是考虑下面给出的收敛形式。定义4.2设有一列随机变量,1,2,，如对任意的＞0，有limP{:n()()}0（4.6）n则称{n}依概率收敛到，并记作limP4.6nn或P,4.6n（4.6）式也等价于limP{n}}0n从定义可见，依概率收敛就是实函中的依测度收敛。P我们知道，随机变量的统计规律由它的分布函数完全刻划，当n时，其相应的分布函数Fn(x)与F(x)之间的关系怎样呢？例4．2设n(n1)及都服从退化分布：P{n11,n1

5、,2,}nP{0}1对任给＞0，当n＞1{}{}0时，有PnPn2所以P,(n)n0x1Fn(x)n而n的d.f为1x1n0x0的d.f为F(x)x01易验证当x0时，有Fn(x)→F(x)（n→）但x0时，Fn(0)1不趋于F(0)0上例表明，一个随机变量依概论收敛到某随机变量，相应的分布函数不是在每一点都收敛，但如果仔细观察这个例，发现不收敛的点正是F(x)的不连续点，类似的例子可以举出很多，使人想到要求Fn(x)在每一点都收敛到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不连续点来考虑。定义4.3设{Fn(x)}为一分

6、布函数序列，如存在一个函数F(x)，使在F(x)的每一连续点x，都有limFn(x)F(x)n则称分布函数列{Fn(x)}弱收敛于F(x)，并记作Fn(x)WF(x)n（4.7）定义4.3设r.v.n(n1)和的分布函数分别为Fn(x)，F(x)，若Fn(x)WF(x)n，则称n按分布收敛于，并记作L（n）n定理4.4若nP，则nL证对于xR,任取xx，因有(x)(nx,x)(nx,x)(nx)(nx,x)故P(x)P(nx)P(nx,x)3即F(x)Fn(x)P(因P，故P(nnnxx)xx)0所以有F(x)li

7、mFn(x)n同理可，xx有F(x)limFn(x)n于是任意xxx有F(x)limFn(x)limFnF(x)nn令xx,xx，有F(x0)limFn(x)limFnF(x0)nn若x是F(x)的点，就有limFn(x)F(x)。。此定理的逆不真。n例4.3抛一枚均匀硬，1=“出正面”，2=“出反面”则P(1)P(2)121令n()01()01221n=1，2，⋯⋯因Fn(x)与F(x)完全相同，然有Fn(x)→F(x)对xR1成立。P{10,1)P(n1,1)n}P(n但2111111成立=222。对n22∴

8、nP不成立。一般来，按分布收不能推出依概率收，但在特殊情况下，却有下面的果。定理4.5设C是一常数，P(C)1，PL,nn（即PCnLC），n4证（）由定理4.1推得（）（不妨就设C）对任给0，有P{nC}P(nC)P(nC)1Fn(C)Fn(C0)(4.8)因C的分布函数为0xCc处不连续，而c处都是连续的，由Fn(x)WF(x