随机过程-习题-第1章.doc

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1、1.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A和B，从秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。如果每一乘客以概率登上A车，以概率登上B车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用代表时乘客登上A车的状态，即乘客登上A车则，乘客登上B车则，即,，当时在A车上的乘客数为是一个二项式分布的计算过程。（1）求的概率分布，即（2）当公共汽车A上到达10个乘客时，A即开车（例如时，且时又有一个乘客登上A车，则时A车出发），求A车的出发时间的概率分布。(1)解：时在A车上的乘客数服从二项分布，即(2)解：A车的出发时间服从负二项分布。设在时刻第10位乘客登上A车，即A车出发时间，那么在前个时刻登上A车的乘客数为9，登上

2、B车的乘客数为；若设乘客登A车概率为p(=1/2)，登B车概率为q(=1/2)，则随机变量的概率为其中，。1.2设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过程。图1-2给出了它的样本函数。求：(1)的一维概率密度函数。(2)的二维概率密度函数。T2T3T(k)(t)0At图1-2题1.2的样本函数(1)解：因为的每个周期内的脉宽是服从同一均匀分布的

3、随机变量，且各周期间是统计独立的，所以的一维概率密度函数是以T为周期的周期函数。显然，只取A和0两个值。因此，的一维概率密度函数可以表示为假设，则在第n个周期中同理可得于是，的一维概率密度函数为其中，。(2)解：求二维概率密度函数分成两种情况：第一种情况：和不在同一周期内，由于不同周期内取值相互统计独立，所以二维概率密度函数为其中，，，并且。第二种情况：和在同一周期内，再分成三种情况(脉冲沿指下降沿)：A：脉冲沿在间；B：脉冲沿在间；C：脉冲沿在间。相应的概率为同理可得相应的条件概率为即。类似可得于是，1.3设有一随机过程，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1-3画出了一个样本函数图。各样

4、本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t=0后的第一个零值点位于，是一个随机变量，它在(0，T)内均匀分布，即若锯齿波的幅度为A，求随机过程的一维概率密度。AtT0图题1-3解：显然，是t的周期函数，且周期为T。设t=t’+(n-1)T，。所以，t’或者落在上或者落在上。设当时，由此可得于是，同理当时也有上式。因此上式对于所有成立。1.4设有随机过程其中，为常数，且，和是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为即和是正态分布N(0，1)随机变量。若把写成的形式，（1）求、及，问和是否统计独立。（2）画出的典型样本函数；（3）求的一维概率密度（4）设有事件A，，其

5、中c为常数，求出现A事件的概率P(A)。(1)解：将展开得因此，由此可得雅可比为由于和是相互统计独立的随机变量，所以于是和的联合概率密度函数为做边缘积分得由此可见，所以，和是相互统计独立的。(a)(b)(2)解：设，则当时，样本函数为（a），当时，样本函数为(b)。(3)解：因为其中，和都是正态分布的随机变量，对于任意t，是和的线性组合，所以仍是正态分布。显然，所以，的概率密度函数为解决此题的另一种方法是设辅助变量，即设雅可比为于是，因此，的概率密度函数为(4)解：事件A为所以，由本题(1)的结论可知V服从瑞利分布，相应的V2服从指数分布，因此1.5求1.4题给出的随机过程的均值和自相关函

6、数。解：因为所以，=0相关函数为因为和相互统计独立，所以，，且，于是实际上，由于和是随机变量，而不是随机过程。所以相关函数为常数，功率谱为冲激函数。这说明的功率谱为在处的两个冲激，即相关函数为。1.6设有随机过程，并设为一实数，定义另一随机过程试证：的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。证明：的均值为的自相关函数为1.7设有随机过程，。其中为均匀分布于(0,1)间的随机变量，即试证：（a）（b）证明：易得，按定义，相关函数为协方差函数为1.8设有一随机过程x(t)作为图题1-8所示的线性系统的输入，系统的输出为h(t)，若x(t)的相关函数为，试求输出随机过程h(t)的自相

7、关函数（用输入过程的相关函数表示）。时间延迟T图题1-8解：输出随机过程h(t)的自相关函数为若x(t)为平稳随机过程，则，其中，。于是h(t)的自相关函数为