随机过程-习题-第4章-01.doc

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1、随机过程习题第4章4.1设有一泊松过程，求：（1），用的函数表示之；（2）该过程的均值和相关函数。问该过程是否为平稳过程？(1)解：首先，根据泊松过程的独立增量性质可知于是，(2)解：该过程的均值为根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为()其中，于是，时的相关函数为同理可得时的相关函数为4-17随机过程习题第4章所以，泊松过程的相关函数为所以，泊松过程过程不是平稳过程。4.2设有一个最一般概念的随机电报信号{}，它的定义如下：（1）是正态分布的随机变量；（2）时间内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即(k=1,2

2、,…)（3）不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,)，这个脉冲幅度延伸到下一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。（4）不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。它的样本函数如图4-2。(k)(t)0t图4-2(1)试求它的二元概率密度。(2)试问该过程是否平稳？(1)解：设t1

3、刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为4-17随机过程习题第4章其中，和分别是在t1和t2时刻的概率密度函数。发生情况②的概率就是t1和t2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即显然，t1和t2处于同一脉冲内的概率为。在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为因此，t1和t2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为(2).由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。4.3设、为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程求(1)均值；(2)的相关

4、函数(1)解：由于、是独立的，因此、都均匀分布于(0，1)上，所以于是，(2)相关函数为4-17随机过程习题第4章其中和所以，4.4设是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。如定义试证明其中，，代表的协方差函数，代表的方差。证明：由给出的定义式可知它有两种可能的取值，即因为是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为其中，4-17随机过程习题第4章参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以得其中，因此，的均值为4.5设有随机过程，。其中，是相互独立的随机变量，，，Z均匀分

5、布于（-1，1）之间。试证明是宽平稳随机过程，但不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件）。证明：由Z均匀分布于（-1，1）之间得并且和相互独立。所以，的均值为的相关函数为由此可见，的均值为常数，相关函数只与时间差有关。因此，随机过程4-17随机过程习题第4章是宽平稳随机过程。证明严平稳可以用特征函数，的一维特征函数为与时间t有关(如下图所示)，因此不是严平稳。4.6设为随机变量，为另一随机变量，与相互统计独立，均匀分布于间；又设有随机过程其中为常数，，试利用特征函数证明是一严平稳随机过程。证明：因为特征函数能唯一地

6、确定概率密度函数，若能证明的k4-17随机过程习题第4章阶特征函数具有时移不变性，即则其k维概率密度函数是时移不变的。如果对于任意k都成立，则该过程是严平稳的。该随机过程中包含和两个随机变量，且与相互统计独立。因此，其特征函数可以分两步求解。首先，令，对求均值，然后再对求均值。由于均匀分布于间，即，于是令。则上式中的被积函数是的周期函数，周期为。因此，所以，即由此可见，的k阶特征函数具有时移不变性，即为严平稳随机过程。4.7设有一相位调制的正弦信号，其复数表示式为4-17随机过程习题第4章其中，w为常数，w>0，q(t

7、)是一个二级严平稳过程，设是过程q(t)的二维特征函数，即同时对于任何，。试证明过程x(t)是宽平稳过程，并求它的相关函数。证明：首先，x(t)的均值为x(t)的相关函数为因为q(t)是一个二级严平稳过程，所以只与t1-t2有关。因此，也只与t1-t2有关，且其均值为常数，所以是宽平稳随机过程。4.8设有一时间离散的马尔可夫过程。具有概率密度函数对于，当给定时的条件概率密度均匀分布于之间。问是否满足严平稳的条件？解：对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点，它们的联合概率密度函数有如下性质对于本题，其中的是不随时刻

8、i变化的。若也是与时刻i4-17随机过程习题第4章无关的，则在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。因此，只需要证明与时刻j无关。首先，的概率密度函数为由此可见，的概率密度函数与的概率密度函数相同。依此类推，可得的概率密度函数也与的概率密度函数相同，即的概率密度函数不随时刻i变化。因此，取样点在时间轴上做任意平移时该