随机过程第2章习题

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1、马尔可夫过程（I）―马尔可夫链第1题设ξ(t)是一马尔可夫过程，又设t

2、++nk−tn+/tnn+1ntnnf(/)xxLfxxfx(/)()ttnknk++/1−12n++knk−ttn++/n1n++2nt1n+1n+1f(/)()xxfx=tnn+1/1tnntn+nfx()tnn+1+1fx()x=ttnnnn+1,1+fx()tnn+1+1=fx(/)xttnn/1+1nn+第2题试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的ξ(t)值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有t

3、将来”，若ξ(t2)=x2为已知值，试证明ft1,t3/t2(x1,x3/x2)=ft1/t2(x1/x2)ft3/t2(x3/x2)解：f(x,x,x)f(x,x/x)=t1,t3,t2132t1,t3/t2132f(x)t22f(x/x)f(x/x)f(x)=t3/t232t2/t121t11f(x)t22f(x/x)f(x,x)=t3/t232t2,t121f(x)t22=f(x/x)f(x/x)t1/t212t3/t232第3题若ξ(t)是一马尔可夫过程，t

4、+1m+21f(x,x/x,x,L,x)=f(x,x/x)tm+1,tm+2/t1,t2,L,tmm+1m+212mtm=1,tm+2/tmm+1m+2m解：fx(,/,,,)xxxLxtttttmmm++12,/1,2,,Lm++1m212mfx(,,,,,)xxxLx=tttttmmm++12,,1,,,2Lm++1m212mfx(,,,)xxLtt12,,,Ltm12mf(/)(/)xxfxxfxxL(/)(fx)=ttmm++21/2m++mttm1mm+1/1+mtt2/121t11fx(/

5、)xfxL(/x)()fxttmm/1−12mm−tt/121t11=fxx(/)(/)fxxttmm++21/2m++mttm1mm+1/1+m=fx(,/)xxtttmmmm=+12,/++1m2m第4题若有随机变量序列ξ,ξ,L,ξ,L,且ξ,ξ,L,ξ,L为相互统计独立的随机变量，ξ12n12nn的概率密度为fξn(xn)=fn(xn),E{ξn}=0,n=1,2,L。定义另一随机变量序列{ηn}如下：η=ξ11η=ξ+ξ212η=ξ+ξ+ξ3123LLη=ξ+ξ+L+ξn12nLL试证明：（

6、1）序列η,η,L,η,L具有马尔可夫性；12n（2）E{η/η=y,η=y,L,η=y}=E{η/η=y}=yn1122n−1n−1nn−1n−1n−1解（1）：略（附后）解（2）：略（附后）第5题设有随机过程ξ(n),n=1,2,3,L，它的状态空间I：｛x:0

7、(其它)2⎧f1,2,,mL(x,x,12L,x)m⎪=f(x,x,L,x)⎪ξξ(1),(2),,(m)Lξ12m⎪⎨1=<(0xx

8、1x1111f(x)=f(x,x)dx=dx=−lnxξ(2)2∫xξ(1),ξ(2)121∫x1222x1解（2）：f(x/x,x,L,x)ξξξξ(m)/(1),(2),,(m-1)Lm12m-1f(x,x,L,x)ξξ(1),(2),,(m)Lξ12m=f(x,x,L,x)ξξ(1),(2),,(m-1)Lξ12m-111=/xxLLxxxx12m-112m-21=<(0xx<