随机过程第3章习题

《随机过程第3章习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章马尔可夫过程（II）状态离散参数连续的马尔可夫过程第1题设有一泊松过程{N(t),t≥0}，若有两时刻s,t，且s

2、n−k⎛n⎞⎛s⎞⎛s⎞=⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎜1−⎟⎝k⎠⎝t⎠⎝t⎠第2题设顾客按泊松分布抵达银行，其到达速率为λ。若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此顾客均在最初的20分钟内抵达银行的概率为何？（2）至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率为何？解（1）：PNskNt{()==/()nPN}==={(20)2/N(60)2}kn−k⎛⎞n⎛⎞⎛ss⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜1⎟⎝⎠k⎝⎠⎝tt⎠22−2⎛⎞⎛2020⎞=−⎜⎟⎜1⎟⎝⎠⎝6060⎠2⎛⎞11==⎜⎟⎝⎠39解（2）：PP=−1{

3、(20)N=0/N(60)=2}02⎛⎞⎛2020⎞=−11⎜⎟⎜−⎟⎝⎠⎝6060⎠2⎛⎞25=−1⎜⎟=⎝⎠391第3题设{N(t),t≥0}为泊松过程，其参数为λ。设ψ(s)是随机变量N(t)的母函数，证明N(t)（1）ψ(s)=ψ(s)ψ(s)N(t+Δt)N(t)N(Δt)∂ψ(s)ψ(s)−ψ(s)ψ(s)−1N(t)N(t+Δt)N(t)N(Δt)（2）=lim=ψ(s)limN(t)∂tΔt→0ΔtΔt→0Δtψ(s)−1∂ψ(s)N(Δt)N(t)（3）当

4、s

5、<1时lim=λ(s−1

6、)或=λ(s−1)ψ(s)N(t)Δt→0Δt∂t（在证明过程中运用泊松过程的四个假设）解（1）：∞nψN(t)(s)=∑P{N(t=n)}⋅sn=0∞n(λt)−λtn=∑esn=0n!∞n−λt(λts)=e∑n=0n!−λtλts=eeλt(s−1)=eλ(t+Δt)(s−1)ψ(s)=eN(t+Δt)λ(Δt)(s−1)ψ(s)=eN(Δt)∴ψ(s)=ψ(s)⋅ψ(s)N(t+Δt)N(t)N(Δt)解（2a）：∂ψ(s)∂N(t)λt(s−1)λt(s−1)=(e)=λ(s−1)e∂t∂tψ

7、(s)−ψ(s)λ(t+Δt)(s−1)λt(s−1)N(t+Δt)N(t)e−elim=limΔt→0ΔtΔt→0ΔtλΔt(s−1)λt(s−1)e−1=elimΔt→0Δtλt(s−1)λΔt(s−1)+0(Δt)=elimΔt→0Δtλt(s−1)=e⋅λ(s−1)ψN(Δt)(s)−1λt(s−1)λΔt(s−1)+0(Δt)ψ(s)lim==elimN(t)Δt→0ΔtΔt→0Δtλt(s−1)=e⋅λ(s−1)ψ(s)−ψ(s)ψ(s)−1N(t+Δt)N(t)N(Δt)lim=ψ(s)l

8、imN(t)Δt→0ΔtΔt→0Δt2方法（2b）：ψ(s)−ψ(s)λ(t+Δt)(s−1)λt(s−1)N(t+Δt)N(t)e−elim=limΔt→0ΔtΔt→0ΔteλΔt(s−1)−1λt(s−1)=elimΔt→0Δtψ(s)−1N(Δt)=ψ(s)limN(t)Δt→0Δt解（3）：ψ(s)−1λΔt(s−1)N(Δt)λt(s−1)e−1ψ(s)lim=elimN(t)Δt→0ΔtΔt→0Δtλt(s−1)λΔt(s−1)+0(Δt)=elimΔt→0Δtλt(s−1)=e⋅λ(s−1

9、)第4题利用习题3得到的偏微分方程式求：（1）泊松过程{N(t),t≥0}的母函数ψ(s)的表示式；N(t)（2）P{N(t)=k},k=0,1,2,….的表示式。解（1）：∂ψ(s)N(t)=λ(s−1)ψ(s)N(t)∂t1∂ψN(t)(s)=λ(s−1)ψ(s)∂tN(t)lnψ(s)=λ(s−1)tN(t)λ(s−1)ψ(s)=eN(t)−λtλst=e⋅e∞k−λt(λst)=e∑k=0k!∞k(λt)−λtk=∑esk=0k!解（2）：k(λt)−λtP{N(t)=k}=ek!第5题2设有非

10、齐次泊松过程{N(t),t≥0}，它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=t+2t,t≥0，求3在t=4,t=5间出现n个事件的概率。解：552∫∫mtdt()=+(t2)tdt441325=+[]tt43⎛⎞125⎛⎞64=+−+⎜⎟25⎜⎟16⎝⎠33⎝⎠61=+9388=3n⎛⎞88⎜⎟88⎝⎠3−PN{(5)(4)}−=Nn=e3n!第6题设ξ,η是两个非负整值随机变量，定义二元离散随机变量的母函数为∞∞knk、n均为非负整数。φξ