第4章--MATLAB-非线性方程(组)的求解.ppt

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1、第4章非线性方程(组)的求解4.1二分法4.2简单迭代法4.3Newton法4.4抛物线法4.5非线性方程组的求解4.6实例解析本章目标：求f(x)=0的根4.1二分法原理：若fC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abx*bisect.m误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：优点：①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).缺点：①无法求复根及偶重根②收敛慢注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索

2、程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。多用于为其它求根方法提供初始近似值。试位法为了加快二分法根的收敛速度，这里再介绍一种方法——试位法，试位法的一般执行过程见下面动画。ab(a+b)/2x*(a,f(a))(b,f(b))test_bit.mf(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在

3、x*使得，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就是f的根。逐次逼近：将隐式方程归结为显式计算4.2简单迭代法fixpt.mxyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1原理：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，在x0和x之间.将(x*x0)2看成高阶小量，则有：线性/*linear*/xyx*x0只要fC1，每一步

4、迭代都有f’(xk)0，而且，则x*就是f的根。切线法4.3Newton法newton.m牛顿下山法——Newton’sMethod局部微调：原理：若由xk得到的xk+1不能使

5、f

6、减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1注：=1时就是Newton’sMethod公式。当=1代入效果不好时，将减半计算。newton_down.m割线法Newton’sMethod一步要计算f和f’，相当于2个函数值,比较费时。现用差商(f的值)近似f’，可少算一个函数值。x0x1切线割线切线斜率割线斜率需要2个初

7、值x0和x1。收敛比Newton’sMethod慢，且对初值要求同样高。secant.m4.4抛物线法抛物线法是过曲线上的三点作一条抛物线，用抛物线与x轴的一个交点来作为f(x)=0与x轴交点。抛物线方法亦称为Muller方法。抛物线法的迭代公式为：其中，。parabola.m4.5非线性方程组的求解非线性方程组可以看作非线性方程的推广，而非线性方程就是非线性方程组的特例。非线性方程组的一般数学描述为：为叙述方便，记这样上述方程组即可写为：对于方程组的求解仍可以用牛顿法求解。newtong.m非线性方程的MATLAB函数求解1

8、、fzero()函数MATLAB优化工具箱提供的fzero()函数是专门用于求解单变量非线性方程根的函数，该函数的调用格式为：[x,fval,exitflag,output]=fzero(fun,x0,options,p1,p2,…)其中，fun表示函数表达式，x0是初始值，可以是标量或长度为2的向量，options是设置的过程参数，它主要包括Display和TolX两个选项，options选项可以通过函数optimset来设定，p1,p2,…是函数表达式中附加的参数，x是返回的根，fval是根x处的目标函数的值，exitfl

9、ag表明解存在的情况，正数表明解存在，负数表示解不存在(遇到复数、NaN或者无穷大等)。Output包含计算过程中的信息，它是一个结构体，output.algorithm是所选用的算法，output.funcCount是函数赋值次数，output.iterations是迭代次数。2、fsolve()函数MATLAB最优化工具箱提供的fsolve()函数是专门用来求解多元方程的实数根的函数。它的调用格式如下：[x,fval,exitflag,output,jacobian]=fsolve(fun,x0,options,p1,p2

10、,…)其中，大多数参数的意义同fzero()函数，返回的jacobian是函数在x处的Jacobi矩阵，