高中数学新课标基础知识常见结论详解.doc

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1、高中数学新课标基础知识常见结论详解整理宿城一中王占魁2009.02--03一、集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合元素的互异性：如：，，求；（2）集合与元素的关系用符号，表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为，在讨论的时候

2、不要遗忘了的情况。如：，如果，求的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；②；；；；③；；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。（2）中元素的个数的计算公式为：；（3）运用韦恩图.四、满足条件，满足条件，若且,则是的

3、充分非必要条件；若且,则是的必要非充分条件；若且,则是的充要条件；若且,则是的既非充分又非必要条件；五、德摩根公式：六、数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：①第一个集合中的元素必须有象且不能有剩余，第二个集合中元素可以有剩余；②形式：一对一，或多对一。（2）一一映射：一对一（3）函数的概念：数集到数集的映射。（4）映射的个数，如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个

4、；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。二、函数的三要素：_______，________，____________。相同函数的判断方法：①_________；②______(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：原则：函数表达式有意义或使实际问题有意义。①，则_______；②则_______；③，则_______；④如：，则_______；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域。⑥对

5、于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则_______；定义域为_______。（3）函数值域的求法：①分析观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；③逆求法（反求法,分离常数法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：（i）代数换元对形如的函数常设来求值域；（i

6、i）三角换元法对形如的函数常用“三角换元”，如令来求值域。注意:(i)新元的取值范围，(ii)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。⑤判别式法：对形如的函数常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。注意：①定义域为R，②要对方程的二次项系数进行讨论⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；注意“一正、二定、三等”⑦利用函数有界性：转化为含正弦、余弦等的函数，运用函数有界性来求值域（、、等）；⑧单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑨数形结合或几何意义：根据函数的几何

7、图形，利用数形结合（斜率、距离、绝对值的意义等）的方法来求值域。⑩导数法求下列函数的值域：①（2种方法）；②（2种方法）；③（2种方法）；三、复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”

8、来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。四、分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题。解决分段函数问题的原则：先分段解决，再下结论。五、函数的性质：（一）函数的单调性⑴单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时，；⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作