多元函数的极限ppt课件.ppt

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1、多元函数一元函数多元函数推广主要以二元函数为主，讨论其极限、连续、微分及其应用。在学习方法上多注意多元函数相应概念与方法与一元函数的区别与联系。善于类比,区别异同.（1）邻域一、多元函数的概念空心邻域：（2）区域例如，即为开集．若存在点P的某邻域U(P)∩E=,则称P为E的外点;外点是否属于E？或D为连通集。记作E;连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，若点集EE,则称E为闭集；有界闭区域；无界开区域．例如，（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如

2、,边界上的点都是聚点也都属于集合．整个平面点集是开集，是最大的开集,也是最大的闭集；但非区域.oTH。ARn是开集Ac是闭集。空集既是开集也是闭集。又如，（0,0）是否聚点？D是否闭集？若D是单点集或有限点集呢？（4）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．对函数的一些要讨论的问题：求定义域，表达式等等。例1求的定义域．解所求定义域为例2求的定义域．解例3.设求解法1令设求解法2令即

3、（6）二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:二、多元函数的极限、连续说明：（1）定义中的方式是任意的；常用来证明极限不存在。（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则，夹逼定理等与一元函数类似．求极限的方法？比较：一元函数中极限定义，单侧极限，连续问题：那些概念可以推广？例1.设求证：证:故总有>0,欲使只要取手写其它例1，2，3，4，小

4、结方法。例求极限解其中若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例5.讨论函数函数例6证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．例7.求解:因而化为极坐标则故例7.求解:而化为极坐标则故例2.设求证：证：故总有要证小结：二元函数求极限的方法1.化为一元函数（变量代换、运算等化）；2.夹逼定理、极限运算性质等；3.利用连续性；4.(化函数为极坐标形式)5.证明极限不存在；推广：利用点函数的形式有三、多元函数的连续性定义3例5讨论

5、函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.多元初等函数：称一个变量x（或y）的基本初等函数为二元基本初等函数，将二元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．运算：二元连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函数。3二元初等函数的连续性例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.其它点上连续。故(0,0)为其间断点.其它连续。在圆周例７解2.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得求函数的间断点。例.

6、求函数的连续域.解:例.4闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上必取得它的最大值和最小值．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）一致连续性定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．*综合例.是否存在？解：所以极限不存在.多元函数极限的概念，求极限方法多元函数连续的概念，二元初等函数连续性闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义