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1、第三章数值计算基础计算机及信息工程学院3.1多项式3.1.1创建多项式对于多项式,可以用它的系数矢量表示：这样，在MATLAB中，将多项式问题转化为矢量问题。创建多项式的方法有以下几种。1.系数矢量的直接输入法在MATLAB的命令窗口直接输入多项式的系数矢量，然后利用转换函数ploy2sym将多项式由系数矢量形式转换为符号形式。【例3-1】输入系数矢量，创建多项式。在命令窗口输入系数矢量，并转换为多项式。poly2sym([1-432])2.特征多项式输入法创建多项式的另一种方法是由矩阵的特征多项式取得，由函数ploy实现。需要说明的是
2、，n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶的，同时特征多项式系数矢量的第一个元素必须为1。【例3-2】求矩阵的特征多项式系数，并转换为多项式。在命令窗口输入矩阵，求特征多项式系数并转换为多项式形式。a=[123;456;780];p=poly(a)poly2sym(p)3.由根矢量创建多项式由给定的根矢量也可以创建多项式，同样由函数ploy实现。由给定的根矢量创建多项式应注意两点：（1）如果希望创建实系数多项式，根矢量的复数根必须共轭成对。（2）含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量的系数中，有可能带有很小（在截断误差数量级）的虚部，
3、此时可采用取实部的命令（real）把虚部滤掉。【例3－3】根据根矢量[-0.5–0.3+0.4i–0.3+0.4i]创建多项式。在命令窗口输入根矢量，并创建多项式：r=[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i];p=poly(r)pr=real(p)ppr=poly2sym(pr)3.1.2多项式运算1.求多项式的值求多项式的值有两种算法。一种按数组运算规则计算，对应的函数为ployval；另一种按矩阵的运算规则计算，对应的函数为ployvalm。函数ployval的调用格式为：y=ployval(p,x)求多项式p在x点的值，x
4、也可以是数组，表示求多项式p在各点的值。y=ployval(p,x,[],mu)在这种用法中，用代替x，求多项式p在x点的值，其中mu=[],。[y,delta]=ployval(p,x,S)和[y,delta]=ployval(p,x,S,mu)使用可选的输出结构S产生误差估计，其他方法同上。【例3-4】求多项式在5、7和9处的值。在命令窗口输入多项式系数，并求值；p=[321];polyval(p,[579])函数ployvalm的调用格式为：y=ployvalm(p,x)求多项式p对于矩阵x的值，要求矩阵x必须是方阵，x如果是一标
5、量，求得的值与函数ployval相同。【例3-5】求多项式对于矩阵[25;79]及标量5的值。在命令窗口输入多项式系数，并求值：p=[321];polyvalm(p,[25;79])polyvalm(p,5)2.求多项式的根MATLAB进行多项式的求根运算时，可以有两种方法，一种是直接调用求根函数roots;另一种是先把多项式转化为伴随矩阵，然后再求其特征值。在matlab中约定，多项式系数用行矢量表示，一组根用列矢量表示。【例3-6】分别用两种方法求多项式的根。在命令窗口输入多项式系数，并求根：a=[1-53-64-10];r=roo
6、ts(a)s=compan(a)r=eig(s)3.多项式的乘除运算多项式的乘法由函数conv实现，conv也是矢量的卷积函数：多项式的除法由函数deconv实现，deconv也是矢量的卷积函数的逆函数。【例3-7】计算两多项式和的乘法。在命令窗口输入多项式系数，求两多项式的乘法：a=[1-53-42];b=[12-53];c=conv(a,b)【例3-8】计算例3-7中求得的乘积被除所得结果。利用例3-7中求得的结果，求两多项式的除法：c=[1-3-1230-3633-226];b=[12-53];d=deconv(c,b)4.多项式
7、的微积分多项式的微分由函数polyder实现，多项式的积分由函数polyint实现。【例3-9】计算多项式的微分。在命令窗口输入多项式系数，求多项式的微分：p=[3-52-610];polyder(p)poly2sym(ans)【例3-10】计算多项式的积分。在命令窗口输入多项式系数，求多项式的积分：p=[12-154-6];polyint(p)5.多项式的部分分式展开对于多项式b(x)和不含重根的n阶多项式a(x)之比，有如下的展开：式中称为极点（Ploes），称为留数（Residues），k(x)称为直项（Diretterm）。假如
8、a(x)有m重根p(j)=….=p(j+m-1),则相应的部分写成：在MATLAB中，计算部分分式展开的函数为residue，其调用格式为：[r,p,k]=residue(d,a)计算由多项式表达式b(x)
