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1、2.7函数的连续性与间断点1.函数的连续性2.函数的间断点生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中,许多事物的变化是连续的,如时间变化很小时,气温变化很小.在微积分中,主要的研究对象就是连续函数.这种现象从直观上不妨这样说,连续函数的特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以一笔画成.1.函数的连续性（1）函数的增量(改变量)连续,（2）连续的定义定义1设函数f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.定义2若则称函数f(x)在x0处连续.把极限与函数值联系起来了,且提供了连续
2、函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法充分必要条件连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有但本质相同.f(x)在内有定义;(1)(2)(3)三个要素:定义3把极限定义严密化,便于分析论证.存在;极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点存在极限oyx几何意义函数在一点连续，则其图形在该点不断开.例证由定义2知（3）单侧连续左连续右连续定理例解右连续但不左连续,解练一练设解因为所以即即练一练（4）连续函数与连
3、续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称为该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为continuous左连续连续函数,连续区间.内连续(1)间断点的定义f(x)在内有定义;(1)f(x)在无定义;oyx函数在一点连续，则其图形在该点不断开.oyxoyxoyx间断点图形：函数在一点间断，其图形在该点断开oyx例解1.跳跃间断点(2)间断点的类型2.可去间断点解例解例则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,如果于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充x0的函数值,或改变跳跃间断
4、点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例解例解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振荡型解函数无定义,是函数的间断点.由于所以是函数的第二类间断点,且是无穷型.由于所以是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.练一练小结无穷型,无穷次振荡型1.函数在一点连续的三个定义、必须满足的2.区间上的连续函数;3.函数间断点的分类:间
5、断点第一类间断点:跳跃型,可去型第二类间断点:三个条件;作业：P451(1)，2(单)，3(单)，4,7(3)练一练3.已知求是多项式,且2.设解原极限=求设(其中得故解是多项式,且2.设为待定系数)3.已知解解将分子、分母同乘以因子(1-x),则
