大一微积分考前复习.ppt

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1、总复习四注意:4.1总结罗尔中值定理那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点,使(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)上可导;(iii)f(a)=f(b).1、熟记罗尔定理、拉格朗日中定理，柯西中值定理的条件和结论设函数f(x)满足：拉格朗日中值定理(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内(至少)存在一点,使得推论1设在区间I上的导函数,则是一个常值函数.(柯西中值定理)设函数,在区间上满足:(1)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;则在开区间内必定(至少)存在一点,使得柯

2、西中值定理(2)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；2.证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理.3.应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式(ii)f(x)在区间(1,1)内可导(iii)f(1)f(1)e1因此函数f(x)在区间[1,1]上满足罗尔定理的所有条件的所有条件？如满足就求出定理中的数值例1、在区间[1,1]上是否满足罗尔定理解(i)作为初等函数在其定义区间[1,1]上是连续

3、0得0由洛必达法则2、熟练掌握用罗必达法则求极限的方法。(1)解例2、罗必达法则则求下列极限(2)解因为并且所以e(3)解因为并且所以e013、熟练掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间．例3、求下列函数yx42x22的增减区间x(,1)(1,0)(0,1)(1,)yy↘↗↘↗函数在区间(,1)和(0,1)内是单调减少的在区间(1,0)和(1,)内是单调增加的令y0得函数的驻点x1x0x1列表得解y4x34x4x(x1)(x1)4、熟练掌握函数极值和最值的求法

4、。解令y0得函数的驻点x5不可导点为x1列表得x(1)15(5)y不存在00y↘0↗↘0↗y(1)y(5)0为极小值为极大值例4、求下列函数的极值例5、利用二阶导数判断函数的极值。y(x3)2(x2)解y2(x3)(x2)(x3)2(x3)(3x7)y6x16令y0得函数的驻点x3x7/3因为y(7/3)20所以y(7/3)=4/27是函数的极大值因为y(3)20所以y(3)0是函数的极小值例6、求函数yx42x25在[2

5、,2]上的最大值与最小值解y4x34x4x(x1)(x1)令y0得函数的驻点为x0x1x1计算函数在驻点和区间端点的函数值y(2)13y(1)4y(0)5y(1)4y(2)13经比较得y(1)y(1)4是函数的最小值y(2)y(2)13是函数的最大值5、会求曲线的凹凸区间、拐点和渐近线例9、确定函数的凹向及拐点令y0得x0解，x0y000y(拐点)0(拐点)(拐点)函数在区间和内是下凹在区间和内是上凹的点和是拐点解：(1)定义域：(2)对称性：函数非

6、奇非偶，不对称于轴、原点.曲线过点(和(4)单调区间、极值、凹向和拐点：令,得令,得当时，和都不存在.例10、作函数的图形.(3)截距：令x01－－－0+不存在－－0＋＋＋不存在＋－1不存在列表讨论如下：(5)渐近线：是曲线的垂直渐近线.是曲线的水平渐近线.(6)适当补点：取，得，取，得(7)根据以上结果作出函数图形.如图所示.0xy1231234例11、选择题(A)函数yx25x6在[2,3]上是连续的在(2,3)内是可导且y(2)y(3)01下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有()(A)yx25x6[2,3](B)[0,2]

7、(C)yxex[0,1](D)[0,5]在闭区间[0,2]上不是处处连续的(B)函数(C)函数yxex在[0,1]上是连续的在(0,1)内是可导的在区间端点的函数值不等在开区间(0,5)内是连续的(D)函数但在闭区间[0,5]上不连续答A2、下列求极限问题不能用罗彼塔法则的有()(C)(D)答AC(B)(A)分子的极限不(A)因为不能用罗彼塔法则存在所以(B)因为所以能用罗彼塔法则所以能用罗彼塔法则分子分母的极限都不(C)因为不能用罗彼塔法则存在所以(D)因为3、函数yx312x1在定义域内

8、()(A)单调增加(