二面角的平面角探求.doc

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1、二面角的平面角探求贵州省晴隆民族中学刘玉峰二面角是空间几何中的一个重要概念，是空间图形的一个突出的量化指标，也是空间图形位置关系的具体体现，它以高频率的姿态出现在历届高考试题中。高三同学在复习二面角时，往往对于二面角的平面角感到茫然，二面角的平面角的作法是空间几何的难点之一，如何在变化多样的题型中抓住问题的实质呢？笔者将在教学中对二面角的思想方法总结如下，以供读者参考。二面角可以看作一个半平面绕其边界（直线）旋转而成的图形，其大小是二面角的平面角这一概念，主要从二个方面来理解：（1）角的顶点在棱形上，（2）角的两边分别在两个半平面上，（3）角的两边要与棱垂

2、直，根据研究的需要，其取值范围为。二面角的平面角的作法及求法：1、定义法：在二面角棱上取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角便是二面角的平面角。2、垂面法：作二面角棱的垂面，垂面与两半平面的两条交线所成的角即为二面角的平面角。3、利用三垂线定理（或逆定理）：在二面角的一个半平面内取异于棱的一点，过该点向棱和另一半平面引垂线，连接两个垂足，作出二面角的平面角，当涉及的问题中有二面角的一半平面的垂线（或需要作出此垂线）常用此方法。4、特殊图形作法：如将菱形沿对角线折成二面角后，根据菱形的对角线互相垂直平分，以及折前折后的不变性，易作出二面角

3、的平面角。5、公式法：（1）利用公式，其中为相应二面角的平面角，为锐角，为一半平面内的平面图形面积，为该平面图形在另一半平面上的射影图形面积。（2）利用公式，其中为侧面与底面所成角。（3）利用公式，其中为侧面与下底面所成的角。（4）利用异面直线上两点的距离公式，在两个半平面内分别作出垂直于棱的两异面直线，则这两异面直线所成角（或其补角）即为所求二面角的平面角。（5）利用公式，其中为二面角的平面角，为直线到的角，。（6）利用公式，其中为二面角的平面角，为在内且是的一斜线与的所成角，为该斜线与棱的所成角。（7）利用公式，其中为二面角的平面角或补角，、分别为、的

4、法向量，多面体中“无棱”二面角的平面角求解常用此法。例1：已知射线每两条的夹角为60°，求二面角的平面角。分析：由课本习题结论可知在面内的射影为的角平分线，如图，由知，。设二面角的平面角为，则，。例2：已知为锐角二面角内一点，于，于，于，且，，求二面角的平面角。分析：如图所示，依题意易证四点共面且为四边形的外接圆直径，由正弦定理知，，由题意可证为二面角的平面角，其大小与到角相等，，即所求二面角为。例3：在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点，求平面与平面所成的二面角的大小。分析1：如图取的中点为，连接，易证两两相互垂直，建立如图所示空间

5、直角坐标系，则，，，，，，。设为平面的一个法向量，则即，取，则，又为平面的一个法向量，。故所求二面角的大小为或。分析2：取的中点为，的中点为，易证为在面内的射影。由分析1可知：，，设所求二面角的大小为（为锐角）或，则故所求二面角的大小为或。不同的题目解决问题的方法策略不尽相同，有时需要较强的技巧性，若是能结合以上诸方法，在解决问题时就会显得比较轻松，不再有茫然之感，在平常做题中挖掘其本质，使隐藏的结论得以推广，把问题变宽、变广、变活，用少量的题目和时间争取最大的收获。