2011数值分析B答案.doc

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1、姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________________…《数值分析》答案开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器入场题序一二三总分得分评卷人得分一、填空题（共30分，每空3分）1.要使得的近似值的绝对误差小于至少要取5位有效数字.如果要使得相对误差小于，则至少要取5位有效数字。2.用Newton迭代法求解方程可得到

2、迭代公式。3.已知矩阵，则用Jacobi迭代法求解线性方程组得到的迭代矩阵为。该迭代法能收敛吗？答：能。4.设是线性方程组的数值解，其中系数矩阵非奇异。已知条件数，残差的范数，。则的相对误差限为12.34。5.SOR迭代收敛的必要条件是6．矩阵的谱半径是9.48,cond(A)222.67,平方根分解中的矩阵L=得分二、计算题（共7０分）1.（12分）以下三种迭代方法都用于计算，假设，分析每种方法的收敛性并指出收敛速度最快的迭代方法。（1）；（2）；（3）解：（1）迭代点列为，故发散。（2分）（2），，故是一个压缩映射，迭代法收敛。，所

3、以该迭代法具有超线性收敛。（8分）（3），，，故发散。（10分）所以收敛最快的迭代法为（2）。（12分）2.下述矩阵能否进行LU分解?若能,写出L,U矩阵,并计算能分解矩阵的1范数,范数(1)(2)解:(1)不能分解.因为（3分）(2)能分解.因为.（5分）,67,（10分）姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………3.（15分）(1)已知有个插值节点，表示第个节

4、点的Lagrange插值基函数，证明：。(2)已知插值节点A(1,0),B(3,2),C(4,15),D(7,12)。构造差商表，利用牛顿插值求通过这些插值节点的插值多项式。证明：(1)不妨设函数是过的不超过n次的Lagrange插值多项式，则是唯一的，且可写为。（3分）因为显然满足所有插值条件，且次数不超过n次，故。证毕。（7分）(2)：差商表如下：一阶差商二阶差商三阶差商1014-1.253213-3.5415-1712（10）故牛顿插值多项式为（15分）姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)…………………………………………

5、…………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………4（10分）给定线性方程组写出求解该方程组的Jacobi迭代的分量格式,并分析Jacobi迭代的收敛性.解：，　　（5分）迭代矩阵为，特征值为０为三重根．所以　，收敛（10分）５．（13分）应用牛顿法于方程导出其迭代公式,并讨论其收敛速度.解:f(x)=,,（2分）牛顿迭代公式为:既有,,（7分）当为f(x)的单根,此时牛顿法在根附近是平方收敛的.（10分）当a=0,迭代公式为（13分）6．（10分

6、）设A为正交矩阵，B=2I-A,I为单位矩阵。证明：求解线性方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛。证：A为正交矩阵，则。设为A的任意一特征值，则矩阵的特征值为。所以。（5分）B非奇异。所以矩阵为对称正定的。所以高斯-塞德尔迭代法收敛。（10分）