资源描述：
《格林公式・曲线积分与路线的无关性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性返回一、格林公式与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.定理1证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCEBA证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知xyoL1.简化曲线积分应用AB解xyoL3.
2、计算平面面积解Gyxo二、曲线积分与路径无关性BA如果在区域G内有区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD定理21.12设D是单连通闭区域.若函数在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件两两等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有与路线无关,只与L的起点及终点有关;(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立两条件缺一不可有关定理的说明：证(i)(ii)
3、如图21-19,设(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有与路线无关,只与L的起点及终点有关;(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分按段光滑曲线,由(i)可推得与为联结点A,B的任意两条所以D内任意一点.由(ii),曲线积分与路线的选择无关,故当在D内变动时,其积分值是的函数,即有(ii)(iii)设为D内某一定点,为因为在D内曲线积分与路线无关,所以因直线段BC平行于x轴,故,从而由积分中取充分小,使则函数对于x的偏增量(图21-20)值定理可得其中根据在D上连续,于是有同理可证所以证得(iii)(iv)设存在函数使得因此
4、于是由(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立因此于是由一点处都有以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记L所围的区域为.由于D为单连通区域,所以区域含在D内.应用格林公式及在D内恒有的条件,就得到(iv)在D内处处成立(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有解解注若满足定理21.12的条件,则由上述证明可看到二元函数具有性质我们也称为的一个原函数.例5试应用曲线积分求的原函数.解这里
5、在整个平面上成立由定理21.12,曲线积分只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.为此,取取路线为图21-22中的折线段于是有只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.由定理21.12,曲线积分练习题练习题答案四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：
