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1、§3格林公式·曲线积分与线路的无关性一格林公式主题：平面区域D上的二重积分与D的边界L上的第二型曲线积分的关系1.单连通区域,复连通区域,区域边界的方向(单连通区域)(复连通区域)区域边界的方向:当人沿边界行走时,区域D总在其左边,该方向为边界的正向,相反为边界的负向.2.格林公式定理22.3若函数P(x,y),Q(x,y)平面有界闭区域D上连续,且有连续的一阶偏导数,则其中L为D的边界曲线,并取正向.(1)公式(1)可表示为:(2)若L为复连通区域,则L不止是一条曲线.2.格林公式其中L为D的边界曲线,并取正向.(1)证:只要证(i)设D为x—型区域同理可证:(ii
2、)若D由一条按段光滑的闭曲线围成如图所示,将D分为D1,D2,D3由(i)易得结论.(iii)对复连通区域可作类似讨论.定理22.3若函数P(x,y),Q(x,y)平面有界闭区域D上连续,且有连续的一阶偏导数,则注:两个条件:P(x,y),Q(x,y)及它们的偏导数都在D连续;D为有界闭区域;(ii)表明曲线积分与二重积分之间的关系.(iii)可利用二重积分计算曲线积分,可利用曲线积分计算二重积分3.例例1计算其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分.ABoD解:P(x,y)=0,Q(x,y)=x都在以半径为r的四分之一圆域D连续.在D上用格林公式,得其中L的封闭曲线
3、:AOBA所以例2计算其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.DL解:因为显然,P(x,y),Q(x,y)及其偏导数都在D连续,由格林公式,得例3计算其中L为圆心在原点半径为r的圆周(取正向).解:L的参数方程为注意r的任意性.例4计算其中L为以原点内点的有界闭区域的边界(取正向).L解:任作圆心在原点,含于L内的圆周L1(设其半径为r).L1设L与L1围成的区域为D,则由例2,沿D的边界的正向的第二型曲线积分为0,即其中L取逆时针方向,L1取顺时针方向.(根据例3)4.区域面积的曲线积分形式若P(x,y)=-y,Q(x,y)=x,则有故D的面积为:例5求由星形线所围
4、成的面积.解:由上所述,所求的面积为应用格林公式计算第二型曲线积分:其中L为圆周的正向.其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5)为顶点的三角形,方向取正向.其中m为常数,AB为由(a,0)到(0,0)经过上半部的路线.二曲线积分与路线的无关性例计算其中：(i)沿抛物线y=2x2,从O到B的一段；(ii)沿直线y=2x从O到B的一段；(iii)沿封闭线路OABO。解:(i)(ii)(ii)定理22.4设D为平面单连通闭区域.若函数P(x,y),Q(x,y)在D内连续,且有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:(i)沿D中任一按段光滑的闭曲线L,有(ii)沿D中任
5、一按段光滑的曲线L,与线路无关,只与L的起点终点有关;(iii)是D内某一函数的的全微分,即存在D内的函数(iv)在D的每一点处,有证:(i)(ii)(i)沿D中任一按段光滑的闭曲线L,有(ii)沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关,只与L的起点终点有关;ABRS设ARB与ASB为联结点A,B的任两条光滑曲线.由(i)由ARB与ASB的任性,故(ii)得证.证:(ii)(iii)(ii)沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关,只与L的起点终点有关;(iii)是D内某一函数的的全微分,即存在D内的函数由(ii)知,曲线积分与积分路线无关,故当B(x,y)在D内变动时,
6、其积分值为B(x,y)的函数.记以下证:记以下证:由积分中值定理,得所以同理可证:(iii)(iv)(iii)是D内某一函数的的全微分,即存在D内的函数(iv)在D的每一点处,有由(iii)有又P(x,y),Q(x,y)有连续的一阶偏导数，故(iv)(i)(iv)在D的每一点处,有(i)沿D中任一按段光滑的闭曲线L,有设L为D中任一按段光滑的闭曲线L,记L围成的区域为D1.由于D为单连通区域,故D1含在D内.在D1应用格林公式,并注意到得定理22.4设D为平面单连通闭区域.若函数P(x,y),Q(x,y)在D内连续,且有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:(i)沿D中
7、任一按段光滑的闭曲线L,有(ii)沿D中任一按段光滑的曲线L,与线路无关,只与L的起点终点有关;(iii)是D内某一函数的的全微分,即存在D内的函数(iv)在D的每一点处,有注:1)D为单连通区域LL1D例考察其中L为复连通区域D的边界(取正向).则满足(iv):在D的每一点处,有满足(i)?2)通常用(iv)来判断第二型曲线积分与线路的无关性:例判断下列积分是否与积分线路有关:(1)(2)L为右半平面的路线.(3)L为不包围原占的路线.(4)Φ(x),ψ(y)为连续函数.3)当与线路无关时，从A(x0,y0)到B(x1,y1)的第二型曲线积分可表示
