格林公式曲线积分与路线无关性

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1、§3格林公式曲线积分与路线无关性教学目的：1.掌握格林公式，理解格林公式的证明，掌握格林公式应用的特殊技巧．2.掌握曲线积分与路线无关的条件，理解曲线积分与路线无关的条件的定理的证明，掌握曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧．教学重点：格林公式，曲线积分与路线无关的条件.教学难点：格林公式应用的技巧，以及曲线积分与路线无关的条件定理应用技巧.教学过程一、格林公式区域边界的正方向的规定：略定理21.11若函数，在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有=，（1）这里是区域的边界曲线，并取正方向．公式（1）称为格林公式．证明按区域的形状分三种情况来证明.（ⅰ）若区域既是型又是型区

2、域（如图）区域表示为：，又可表示为：====，同理可证=，上述两式相加即得8§3格林公式曲线积分与路线无关性教学目的：1.掌握格林公式，理解格林公式的证明，掌握格林公式应用的特殊技巧．2.掌握曲线积分与路线无关的条件，理解曲线积分与路线无关的条件的定理的证明，掌握曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧．教学重点：格林公式，曲线积分与路线无关的条件.教学难点：格林公式应用的技巧，以及曲线积分与路线无关的条件定理应用技巧.教学过程一、格林公式区域边界的正方向的规定：略定理21.11若函数，在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有=，（1）这里是区域的边界曲线，并取正方向．公式（1

3、）称为格林公式．证明按区域的形状分三种情况来证明.（ⅰ）若区域既是型又是型区域（如图）区域表示为：，又可表示为：====，同理可证=，上述两式相加即得8=.（ⅱ）若区域由一条按段光滑的闭曲线围成，用几条光滑曲线将它分成有限个既是型又是型子区域，然后逐块应用（ⅰ）得到它的格林公式，并相加即可，如图中所示的情况则有=++=++=．（ⅲ）若区域为由若干条闭曲线所围成的多连通区域，如图为例，可添加直线段，把区域转化为（ⅱ）的情况来处理．===．格林公式的便于记忆的形式=．例1计算，其中曲线是半径为的圆在第一象限的部分．解半径为的圆在第一象限的部分为区域，由格林公式===0+0=,所以8==．

4、xyoLAB例2计算，其中为任一不包含原点的闭区域的边界．解格林公式条件满足，故=====0.例3计算抛物线与轴所围的面积.解==+=+0=．二、曲线积分与路径的无关性单连通区域的概念：若对平面区域内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的点而连续收缩于内的某一点，称为单连通区域．否则称为复连通区域．DD单连通区域复连通区域定理21.12设是单连通闭区域．若函数，在8内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：（ⅰ）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有=0；（ⅱ）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关．只与的起点及终点有关；（ⅲ）是内某一函数的全微分，即；（ⅳ）在内处处成立．证明（ⅰ

5、）（ⅱ）如图===0,所以=．（ⅱ）（ⅲ）设为内一定点，为内任意一点，由（ⅱ）曲线积分与路线的选择无关，故当在内变动时，其积分值是的函数，即有=．取充分小，使，由于积分与路线无关故函数对于的偏增量==,其中直线段平行于轴由积分中值定理可得====,其中8，由在上的连续性==.同理可证=．因此（ⅲ）（ⅳ）设存在，使得,所以=，=，因此=，=,因，在区域内有连续的偏导数，所以=,从而在内每一点处有=．（ⅳ）（ⅰ）设为内任一按段光滑封闭曲线，记所围的区域为．由于为单连通区域，所以区域含在内．应用格林公式及在内恒有=的条件，就得到==0.以上证明了所述四个条件是等价的．注1：第二十章§2中的

6、例1，因不满足=，故积分与路线有关，而例2中=满足，故积分与路线无关．注2：条件单连通区域是证明要的本节例2中，8=0在除去原点的区域内是成立，但为绕原点的封闭曲线时，所围成的区域包含原点，=成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零．事实上设为绕原点一周的圆时，：，，,则有=．若函数具有性质,称为的一个原函数.函数，满足定理21.12时，在内的原函数可用路线积分的方法求出．例4应用曲线积分求的原函数.解=，=在整个平面上有连续的偏导数，且==,故积分与路线无关，取原点为起点，为终点，取如图的折线为积分路线，则有的原函数为=．8图21-19作业1，2，5，6.8