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1、第3节一、格林(Green)公式二、曲线积分与路线的无关性格林(Green)公式曲线积分与路线的无关性第21章区域D分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式证:格林公式可以写为①②下证只证①式D1)假设D是单连通区域，则且D既是X-型区域,又是Y-型区域.即同理可证①②①、②两式相加得:2)若D是单连通区域，但不是X-型或Y-型区域，则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如右图3)若D是
2、复连通区域，则可通过加辅助线将其分割为有限个单连通区域,如图证毕推论:格林公式例如,椭圆所围面积正向闭曲线L所围区域D的面积例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得例2.计算其中L是解:令利用格林公式,有由直线y=0,x+2y=2及圆弧闭域的正向边界.例3.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,它与L所围原式圆周区域为D,则添加辅助线段例4.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有例5.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲
3、线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ所围的区域为林公式,得例6.计算与x轴解:所围成的面积。表示,ONA为直线y=0曲线AMO由函数二、曲线积分与路线的无关性定理2.设D是单连通闭区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路线无关,只与L的起点与终点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:积分与路线无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑
4、曲线,则(根据条件(1))证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路线无关,有函数证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕说明:根据定理2.,若在某区域内则2)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路线;例7.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则故存在函数u(x,y)使。。例8.验证在右
5、半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理21.12可知存在原函数或解：所以在不含原点的单连通域，积分与路径无关。例9.计算令内容小结1.Green公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:2.设提示:作业P2321(1);3;4;5(1),(3);6(2);10备用题1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点2.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4)
6、,到原点的距离,解:由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,3.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路线无关!
