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《第一轮总复习课件(理数)：第39讲 数学归纳法新课标高中数学.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第39讲数学归纳法理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=（a≠1,n∈N*)，在验证n=1成立时，左边计算所得项是()CA.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3n=1时，由左边的代表项“an+1”知，应加到a2,故左边=1+a+a2，选C.2.用数学归纳法证明1+++…+1时）,第一步要证的不等式是()BA.1+<2B.1++<2C.1+++<2D.1+++<3因为n>1,且n∈N,故初值n0=2,代入
2、选B.3.用数学归纳法证明不等式+++…+>(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边()CA.增加了一项“”B.增加了两项“+”C.增加了一项“+”又减少了一项“”D.增加了一项“”又减少了一项“”n=k时，不等式左边为+++…+,n=k+1时，不等式左边为+++…++,比较两式可知选C.4.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”，从“k到k+1”，左端需增乘的代数式为()BA.2k+1B.2(2k+1)C.D.n=k时，等式左边为(k+1)(k+2)…(k+k),而n=k+1时，等
3、式左边为(k+2)(k+3)…(2k+2)，需要增乘的代数式为,即2(2k+1).5.用数学归纳法证明：凸多边形的内角和f(n)=(n-2)×180°（n≥3)，第一步应验证;假设n边形内角和f(n)=(n-2)×180°,则f(n+1)=f(n)+，从而再用假设.f(3)=180°180°由n≥3,故初值n0=3,即三角形内角和为180°.由凸n边形变为凸n+1边形时，相当于增加了一个三角形，故f(n+1)=f(n)+180°.1.数学归纳法方程的步骤一般的，证明一个与正整数有关的命题时，可以按以下的步骤进行：(1)归纳奠基:①.;(2)归纳递推:
4、②..证明当n取第一个值n0(例如n0=1,n0=2等等)时，结论成立假设当n=k(n∈N*且k≥n0)时结论成立,证明当n=k+1时结论也成立在完成这两个步骤的证明以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确.这种证明命题的方法叫做数学归纳法.2.用数学归纳法证题时，应注意(1)在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步，递推就会缺乏正确的基础.一方面，第一步再简单，也不能够省略；另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小的正整数就足够了，一般没有必要再去多考察几个正整数.(2)第二步是递推的过程，仅有第一步而没
5、有第二步，就失去了递推的过程.这说明了缺省了第一步这个基础，第二步的递推就没有意义了.只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论.因此在完成了第一、二步的证明以后，还要有一个小结.例1题型一用数学归纳法证明整除性问题是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.本题通过计算f(n)的前几项的值，猜想出m的值，然后再利用数学归纳法加以证明.由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,
6、f(4)=34×36.由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：(ⅰ)当n=1时，显然成立.(ⅱ)假设n=k时，f(k)能被３６整除，即f(k)=(2k+7)·3k+9能被３６整除；当n=k+1时，［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数，故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除，m的最大值为36.本题是探索性问题.它通过：“观察——归纳——猜想——证明
7、”这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得到一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法.在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要.用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，拼凑是关键.例2题型二用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+.要证不等式的左边2n项，右边n项，n=k+1与n=k相比左边增加２项，右边增加１项，而且左、右两边的首项不同，因此，由“
8、n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.(ⅰ)当n=1时,左边=1-=,右边=,命题成立.(ⅱ)假设当n=
