2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章 第24讲 数学归纳法.ppt

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1、第三章数列、推理与证明数学归纳法第24讲解析：当n=1时，左边式子是二次式，为1+x+x2.2.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_____.解析：由凸k边形到凸k+1边形，增加了一个三角形，故f(k+1)=f(k)+p.p4.一个关于正整数n的命题，如果验证n=1时命题成立，并在假设n=k(k≥1)时命题成立的基础上，证明了n=k+2时命题成立，那么论证过程到此为止只说明该命题对__________________．一切正奇数都成立解析：上述论证过程，只说明对n=1,3,5,7，…，命题成立，并不能说明命题对n=2,4,6，…这些偶数能否成立

2、，故这样的论证只能说明命题对一切正奇数都成立．5.用数学归纳法证明对任意n∈N*，有34n+2+52n+1能被14整除的过程中，当n=k+1时，34(k+1)+2+52(k+1)+1应该变形为_______________________.解析：因为n=k+1时的证明过程，要用归纳假设n=k时，34k+2+52k+1能被14整除，所以34(k+1)+2+52(k+1)+1=81×34k+2+25×52k+1=25(34k+2+52k+1)+56×34k+2.25(34k+2+52k+1)+56×34k+2数学归纳法在证明等式中的应用【例1】是否存在常数a、b、c使得等式。1·22+2·

3、32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？证明你的结论.用数学归纳法证明：1·22+2·32+…+n(n+1)2=(3n2+11n+10).①当n=1时，等式自然成立；②假设n=k(k∈N*)时，等式成立，即1·22+2·32+…+k(k+1)2=那么当n=k+1时，左边=1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2,=(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2=［k(3k+5)+12(k+2)］=(3k2+17k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］=右边.所以当n=k+1时，等式成立.由①②知，等式1·22+2·32+…+

4、n(n+1)2=·(an2+bn+c)对一切正整数n都成立.点评用数学归纳法证明等式时，要清楚等式两边的结构，特别是由n＝k到n＝k＋1等式两边发生了怎样的变化，项数增加了多少项，这是正确解答问题的关键．【变式练习1】用数学归纳法证明：【证明】(1)当n=1时，左边=右边=，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，即.那么当n=k+1时，左边数学归纳法在证明整除问题中的应用【例2】用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N*)能够被x＋2整除．点评整除问题的证明一般是将n＝k＋1时的结论设法用n＝k时的结论表示，然后应用归纳假设证明n＝k＋1时命题成立．数学归纳法在证明不等式中的应用当x

5、=0或m=1时，原不等式中等号显然成立.下面用数学归纳法证明“当x>-1，且x≠0时，(1+x)m>1+mx(*)对m≥2,m∈N*成立”.(1)当m=2时，左边=1＋2x＋x2，右边=1＋2x.因为x≠0，所以x2>0，即左边＞右边，不等式(*)成立；(2)假设当m=k(k≥2,k∈N*)时，不等式(*)成立，即(1+x)k>1+kx.则当m=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0.又因为x≠0,k≥0，所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)(1+x)k>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x，所以(1+x)k+1

6、>1+(k+1)x.即当m=k+1时，不等式(*)也成立.综上(1)(2)所述，所证不等式成立.点评用数学归纳法证明函数中的不等式，首先要弄清楚谁是变量，作为函数，自变量x是变量，但在归纳法的应用中，与自然数有关的量才是数学归纳法要研究的变量；其次在应用归纳假设时，要对不等式作适当的放缩转化，确保向目标前进.数学归纳法在数列问题中的应用点评数学归纳法在解决有关数列问题时发挥着很大的作用．数列是关于自然数的命题，由数列的递推关系，可以对结果进行推测和猜想，对猜想的结论进行合理证明，数学归纳法是最佳的工具．本题联系等差数列、等比数列，考查了数学归纳法的应用和综合运用数学知识进行归纳、推理、

7、论证的能力．数学归纳法在几何问题中的应用5①当n=1时，一个圆把平面分成两部分，又f(1)=2，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，第k+1个圆与原来k个圆都相交于两点，且无任意三圆相交于同一点，于是第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，因此第k+1个圆被分成2k段弧，每段弧把原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了2k块,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2