第一轮总复习课件(理数)：第65讲 空间角及其计算新课标高中数学.ppt

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1、新课标高中一轮总复习第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量第65讲空间角及其计算1.理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念.2.掌握求空间角的基本方法及空间角向平面角的转化技巧.3.培养依据不同问题情境选择传统的构造法或向量法计算空间角的思维习惯.4.培养学生的转化化归思想和数形结合思想,提高学生的空间想象能力.1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点,且B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值为()BA.B.C.D.在A1B1上取一点G,并使A1G=,连接AG,再在A

2、B上取一点H，连接GH.则∠AGH为异面直线BE1与DF1所成的角.不妨设A1B1=4，则AG=GH==.所以在△AGH中，cos∠AGH===.2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为.30°如图，过点C作平面β的垂线，垂足为D，过D作DE垂直AB于E，连接CE.由三垂线定理得∠CED为α-AB-β的平面角.由题意可知∠CED=30°.3.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面所成角的大小为.45°如图，由S作SO⊥平面ABCD,则O是正方形ABCD的中心，AO是SA在平面AB

3、CD上的射影，所以∠SAO为侧棱与底面所成的角.又在△ABO中，易得AO=a,所以∠SAO=45°.4.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O为垂足,BC为α内的一条直线,∠ABC=60°,∠OBC=45°,则斜线AB和平面α所成的角为.45°由斜线和平面所成的角的定义可知,∠ABO为斜线AB和平面α所成的角.又因为cos∠ABO===,所以∠ABO=45°.一、异面直线所成的角1.异面直线所成的角:在空间中任取一点O,过O点分别作两异面直线的①线所成的②叫做两条异面直线所成的角.2.异面直线所成的角的范围是③,当θ=④时,这两条

4、异面直线垂直.平行锐角或直角(0,]二、直线与平面所成的角1.直线和平面所成的角：(1)如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为⑤.(2)如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为⑥.(3)如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的⑦所成的⑧角，称之为直线和平面所成的角.2.直线和平面所成的角的范围是⑨.0射影锐[0,]三、二面角的平面角1.二面角的平面角：从一条直线出发的两个⑩组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作两条射线.这两条射线所成的角叫做.平面角是角的二面角叫做直二面角.2.二面角的范围是.3.作

5、二面角的平面角的常用方法有..四、求空间角的基本方法1.构造法（传统法）；2.空间向量法.11半平面任意12垂直于棱的13二面角的平面角14直15［0,π］定义法、线面垂直法、垂面法例1题型一异面直线所成的角的求法如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点.(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值；(2)当DF为何值时,EF与BC1所成的角为90°?依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角.（方法一）（1）连接EC

6、1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BD=BCE为CD的中点BE⊥侧面DCC1D1BE⊥EC1.在Rt△BEC1中，BE==，EC1==，所以tan∠EBC1==3.BE⊥CD(2)当DF=时,EF与BC1所成的角为90°.由（1）知，BE⊥侧面DCC1D1BE⊥EF.又DE=EC=，CC1=AA1=2.当DF=时，因为==，==，所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF+∠CEC1=90°，所以∠FEC1=90°，即FE⊥EC1.又EB∩BC

7、1=E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1,即EF与BC1所成的角等于90°.（方法二）由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0),D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2),E(，,0).(1)因为=(0,1,2)，=(，,0),所以cos〈，〉===，所以sin〈，〉=,所以tan〈，〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则=(，-,q).又=(0,1,2)，由·=×0

8、-×1+q·2=0，得q=，即DF=时，EF⊥BC1.异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情