多项式的最大公因式.docx

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1、多项式的最大公因式问题：（一）.多项式的最大公因式的定义是什么？设fx与gx是Px中两个多项式，Px中多项式dx称为fx与gx的最大公因式，如果满足下面两个条件：(1).dx是fx与gx的公因式；(2).fx，gx的公因式全是dx的因式。我们约定用fx，gx表示首项系数为1的那个最大公因式。定理1：对于Px中任意两个多项式fx，gx，在Px中存在一个最大公因式dx，且dx可以表示成fx，gx的一个组合，即有Px中多项式ux，vx使dx=uxfx+vxgx引理：设fx,gx,qx,hx∈Fx,gx≠0，且fx=gxqx+hx则fx与gx与qx与hx有相同的公因式，

2、因而有相同的最大公因式，且fx，gx=gx，hx定理2：Fx的任意两个多项式fx与gx一定存在最大公因式。（二）.用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果fx,gx∈Px,gx≠0，且qix,rix∈Px,使fx=q1xgx+r1xgx=q2xr1x+r2xr1x=q3xr2x+r3x⋯⋯rs-2x=qsxrs-1x+rsxrs-1x=qs+1xrsx+0其中∂rix≥0，则rsx是fx与gx的一个最大公因式。(2).串位加减法(3).矩阵求法：A=fxgx一系列初等行变换dx0dx=fx，gx例1.设fx=x4+3x3-x2-4x-3gx=3x3+10x

3、2+2x-3求fx，gx解：法1辗转相除法。-275x+9=q2xgx3x3+10x2+2x-33x3+15x2+18xfxx4+3x3-x2-4x-3x4+103x3+23x2-x13x-9=q1x-5x2-16x-3-5x2-25x-30-13x3-53x2-3x-3-13x3-109x2-29x+13r2x=9x+27r1x=-59x2-259x-103-59x2-53x-581x-1081=q3x-109x-103-109x-103r3x=0求得r2x=9x+27是最大公因式，即fx，gx=x+3法2串位加减法设c≠0，则对于任意多项式fx，gxfx，g

4、x=fx，cgx13-1-4-33102-3fxgx15995253015651639273613r1x=-3fx+xgxr2x=3r1x-gxr3x=15r2x=r1*xr4x=-gx+3xr1*xr5x=-r4x+5r1*xr6x=19r5x=r2*xr7x=r1*x-r2*xr8x=12r7x0于是r7x=2x+6是最大公因式，即fx，gx=x+3例2．令F是有理数域，求出Fx的多项式fx=4x4-2x3-16x2+5x+9，gx=2x3-x2-5x+4使得uxfx+vxgx=dx成立的dx，ux，vx,其中dx=fx，gx。解我们把I拼在fxgx的右边一

5、起做行初等变换：fx10gx01=4x4-2x3-16x2+5x+9102x3-x2-5x+401r1+r2×-2-6x2-3x+91-2x2x3-x2-5x+401r2+r1×x-6x2-3x+91-2x6x3-3x2-15x+1203→⋯0**-3x+3x-1-2x2+2x+3r1↔r2r1×-13x-1-13x-123x2-23x-10**。所以dx=x-1，ux=-13x-1，vx=23x2-23x-1。注：如果dx是fx，gx在Fx中的公因式，则dx是fx与gx的最大公因式的充分必要条件是存在ux,vx∈Fx，使得dx=uxfx+vxgx例3.求ux,

6、vx使uxfx+vxgx=fx，gx：fx=x4+2x3-x2-4x-2，gx=x4+x3-x2-2x-2（P45,6.(1)）解：fx=gxq1x+r1x，其中，q1x=1r1x=x3-2xgx=r1x∙q2x+r2x,其中，q2x=x+1r2x=x2-2r1x=r2x∙q3x+r3x,其中，q3x=xr3x=0所以，r2x=x2-2是fx和gx的最大公因式。因为gx=r1x∙q2x+r2x,fx=gx∙q1x+r1x，所以fx，gx=-q2x∙fx+1+q1x∙q2x∙gx由此可得：ux=-q2x=-x-1vx=1+q1xq2x=x+2注：利用辗转相除法求出

7、最大公约数，然后逆向推导。例4．证明：如果dx│fx,dx│gx，且dx为fx与gx的一个组合，那么dx是fx与gx的一个最大公因式。（P45,8）证：设dx是fx与gx的任一公因式，即有d'x│fx和d'x│gx不妨设fx=d'x∙q1x,gx=d'x∙q2x由已知条件可得dx=uxfx+vxgx所以dx=uxd'x∙q1x+vxd'x∙q2x故有d'x│dx因此，dx是fx与gx的一个最大公因式。注：已知dx是fx与gx的任一公因式，只需证明fx与gx的任一公因式都是dx的公因式便可得证。