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1、2.3 多项式的最大公因式教学目的:1.两掌握两个(n个)多项式的公因式,最大公因式互素的概念及性质;2.熟练地应用辗转相除法求出(f(x),g(x)),并会求u(x),v(x).使得:f(x)u(x)+g(x)v(x)=(f(x),g(x))运用概念或充要条件判断问题.教学内容:1.f(x)与g(x)的最大公因式:设F是一个数域,F[x]是F上一元多项式环.定义一令f(x)和g(x)是F[x]的两个多项式.若是F[x]的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式.定义二设d(x)是
2、多项式f(x)与g(x)的一个公因式.若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除,那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式.定理2.3.1F[x]的任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式.除一个零次因式外,f(x)与g(x)的最大公因式是唯一确定的,这就是说,若是d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因,那么数域F的任何一个不为零的数c与d(x)的乘积cd(x),而且只有这样的乘积是f(x)与g(x)的最大公因式.证：我们可以完全类比着定理1.4.2的证明来证明这个定理.然而为了给出一种实际求最大公因
3、式的方法,我们另外给出一个证明.先证明定理的前一部分.若是f(x)=g(x)=0,那么根据定义,f(x)与g(x)的最大公因式就是0.假定f(x)与g(x)不都等于零,比方说,g(x)¹0.应用带余除法,以g(x)除f(x),得商式q(x)及余式r(x).如果r(x)¹0,那么再以r(x)除g(x),得商式q(x)及余式r(x).如果r(x)¹0,再以r(x)除r(x),如此继续下去,因为余式的次数每次降低,所以作了有限次这种除法后,必然得出这样一个余式r(x),它整除前一个余式r(x).这样我们得到一串等式:f(x)=g(x)q(
4、x)+r(x),g(x)=r(x)q(x)+r(x),r(x)=r(x)q(x)+r(x), ………………………………（1）r(x)=r(x)q(x)+r(x),r(x)=r(x)q(x)+r(x),r(x)=r(x)q(x).r(x),我们说,r(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式.(1)的最后一个等式说明r(x)整除r(x).因此得,r(x)整除倒数第二个等式右端的两项,因而也就整除r(x).同理,由倒数第三个等式看出r(x)也整除r(x).如此逐步往上推，最后得出r(x)能整除g(x)与f(x).这就是说,r(x)是f
5、(x)与g(x)的一个最大公因式.其次,假定h(x)是f(x)与g(x)的任一公因式,那么由(1)的第一个等式,h(x)也一定能整除r(x)同理,由第二个等式,h(x)也能整除r(x).如此逐步往下推,最后得出h(x)能整除r(x).这样,,r(x)的确是f(x)与g(x)的一个最大公因式.定理的后一论断可由最大公因式的定义以及前一章的性质1),6)及7)直接推出.我们不但证明了任意两个多项式都有最大公因式,并且也获得了实际求出这样一个最大公因式的一种方法.这种方法叫做辗转相除法.我们也看到,两个零多项式的最大公因式就是0,它是唯一
6、确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式,它们之间只有常数因子的差别.在这一情形我们约定,最大公因式指的是最高次项系数是1的那一个.这样,在任何情形,两个多项式f(x)与g(x)的最大公因式就都唯一确定了.我们以后用符号(f(x),g(x))来表示这样确定的最大公因式.由于可以用辗转相除法求出两个多项式的最大公因式,我们还可以得出一个结果.我们知道,若是数域含有F,那么F[x]的多项式f(x)与g(x)可以看作[x]的多项式.我们有以下事实:令是含F的一个数域,d(x)是这两个多项式在[x]中的最大公因式,而(x)是这
7、个多项式在[x]中的最大公因式.那么(x)=d(x).这就是说,从数域F过渡到数域时,f(x)与g(x)的最大公因式没有改变.事实上,若f(x)=g(x)=0,那么(x)=d(x)=0.设f(x)与g(x)之中至少有一个不等于零.不论我们把f(x)与g(x)看成F[x]或[x]的多项式,在我们对这两个多项式施行辗转相除法时,总得到同一的最后余式r(x).因此这样得来的r(x)既是f(x)与g(x)在F[x]里的也是它们在[x]里的一个最大公因式.令r(x)的首项系数是c.那么由上面的约定,(x)=d(x)=r(x).例1令F是有理数
8、域.求F[x]的多项式f(x)=x－2x－4x+4x－3g(x)=2x－5x－4x+3的最大公因式.把f(x)先乘以2,再用g(x)来除:2x－4x－8x+8x－62x－5x－4x+32x－5x－4x+3xx+1x－4x+5x－6(乘
