多项式的最大公因式.doc

《多项式的最大公因式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、4.4多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义1若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。因所以任意两个多项式都有公因式。定义2设是与的一个公因式，如果对于与的任一个公因式，都有则称是与的一个最大公因式。2.几个直接的结果1）与都是与的最大公因式。2）0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.

2、4.1如果的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如的多项式。证设是与的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有。所以存大，使。（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。我们用来表示首项系数为1的那个最大公因数。当时，规定.注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。②从数域过渡到数域时，的最大公因式没有改变，但从数域到数域时，多项式可能获得与旧有的本质不同的公因式。二、最大公因式的存在性引理1设，且，(1)则有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且。证由（1）式知，对

3、的任意公因式，因此，另一方面，的任一公因式，，，有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，于是。（证毕）定理4.4.2的任意两个多项式一定存在最大公因式。分析：分两种情形讨论1.f(x),g(x)中有一零多项式，由结论1），2）立得；2.f(x)0,g(x)0,对用数学归纳法（第二）证如果中有一个是零多项式，由前面的例1和例2知结论成立。设。对用数学归纳法。不妨设时，有。由例2知结论成立。设，并设结论对于小于的非负整数均成立。根据带余除法，有使得，这里。由引理1知，只须证有最大公因式。，由例2知有最大公因式；，，由归纳假设知有最大公因式。（证毕）三、最大公因式的矩阵求法1.几个简

4、化计算的结论为了简化计算，我们给出下面三个结论。引理2设c是数域F中的非零常数，则。证记。利用最大公因式的定义不难得出，利用的首项都是1，得。（证毕）还有(f(x),g(x))=(g(x),f(x))(f(x)+g(x)q(x),g(x))=(f(x),g(x)).(引理1)1.最大公因式的矩阵求法1）一元多项式矩阵定义3由排成的的一个矩阵，称为数域上的一元多项式矩阵。用符号等来表示。2）一元多项式矩阵的初等行变换（1）互换矩阵的两行的位置；（2）矩阵的某一行乘以一个非零常数c；（3）矩阵的某一行的q(x)倍加到另一行上.一元多项式矩阵的初等行变换不改变多项式的最大公因式3）求

5、最大公因式的矩阵法例1设，。求。*分别用不分离及分离系数法计算四、最大公因式的一个重要性质1、2阶一元多项式初等矩阵（1）换法阵；（2）倍法阵；（3）消法阵。显而易见，对，施行三种初等变换的结果分别等于的左边乘以相应的数域。2、最大公因式的一个重要性质定理4.4.3设，那么存在,使。证以。，降低其次数，直至一个多项式变为0为止，也即可以通过一系列初等行变换化为，于是有。用矩阵等式来表示，即是说存在数域一元多项式矩阵，使得。记为，和。所以。（证毕）3、求的方法由等式可知，在对施行一系列初等变换将变为的同时，对单位矩阵施行同样的行初等变换，，从而也就得到，即4、几点注意a)定理4.

6、4.5的逆命题不成立，加一条件即可；b)适合定理4.4.3的不一定唯一；a)可推广到多个多项式的情形；b)最大公因式不会随着数域扩大而发生改变。定理4.4.4的最大公因式的充分必要条件是。例1令是有理数域，求出的多项式，使得成立的，其中。解我们把：。所以。五、多项式的互素（一）多项式互素的定义与判断1、定义定义1如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。的公因式，就称这两个多项式互素2、判定定理定理4.5.1使得。证。反之，，则显然，因而必是1的因式，这样，。（证毕）（二）多项式互素的性质（1）若都与h(x)互素，那么f(x)g(x)也与h(x)互素（2）若且，那

7、么（3）若且那么。（三）、互素概念的推广1、多个多项式的互素定义5的最大公因式是指满足以下条件的多项式：1）2）定义6如果则称2、整体互素与两两互素的区别与联系整体互素两两互素，若两两互素。则不一定整体互素作业：P142，1—10题