4.多项式最大公因式的求解

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1、港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法多项式最大公因式的求法定理1　设是中个多项式.中多项式称为的最大公因式，如果它满足下面的两个条件：(1)是的公因式.(2)的公因式全是的因式.定理2设是中的多项式，中多项式是的最大公因式，是任意的非零常数，则有.证明：当、有一个为零，例如，那么结论显然成立.当时，则有，.从而，即是与的一个公因式，令，.根据整除的性质，我们有，所以.所以方法1：用辗转相除法求最大公因式引理如果的最大公因式存在，那么的最大公因式也存在，且.(1)证明：由题意，假设的最大公因式为，那么与的最大公因式也是存在的.(2)又由(1)、(2)式，可知.假设

2、是的一个公因式，由(1)式可得.这样就是与的一个公因式，再由(2)式可得.所以.定理3　设是中的个多项式，则在中存在一个最大公因式，且可以表示成的一个组合，即有中多项式使.5港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法由定理3对一般情况，设，不妨设则，.记，令，则，故.记，且故如此下去，所得差式的次数不断降低，即.因此在有限次之后，必然有一差式为零，即，则乘以首项系数的倒数之后即为.例1例1　设求.解：由题意得：用等式表示出来，就是因此例2设求，并求使.5港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法解：由题意得：0用等式表示即因此而于是，令就有5港澳台高考专题1--

3、---多项式最大公因式的求法方法2：方程组法求解多项式的最大公因式定理4设、是上的两个多项式，令将方程组化解为则当时，中多项式是与的最大公因式；当时，与互素.（其中是常数）例3设求解：作方程组所以例4设求解：作方程组5港澳台高考专题1-----多项式最大公因式的求法所以5