多项式的最大公因式.ppt

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1、多项式的最大公因式教学目的与要求：理解多项式的最大公因式的定义，掌握用辗转相除法求多项式的最大公因式，会求,使得多项式的最大公因式讲授方式：讲授重点：掌握多项式的最大公因式的展转相除法关于多项式的最大公因式的性质的证明难点：§2.3多项式的最大公因式设是一个数域,是上的一元多项式环一、最大公因式的定义及其性质则叫做与的一个公因式.1.定义1:设,若(2)的公因式全是的因式(1)是的公因式2.定义2:设,中多项式称为的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:注：任两个多项式的公因式总是存在的,如每一零多项式.3.最大公因

2、式的性质(因此,当不计常数因子时,与的最大公因式是唯一的.将与的首项系数为1的最大公因式记为)大公因式,因而是与0的一个最大公因(1)若,则是与的一个最式,两个零多项式的最大公因式是0(2)设是与的一个最大公因式,则是与的最大的公因式,使证明:若为与的最大公因式,则有,于是,若,则故是与的公因式，是与的一个最大公因式若,由是最大公因式。为与的最大公因式。且又,故证明:由(2)知,2).为最大公因式1)中等号成立1).故等号成立于是由知,最大公因式，则（3）设分别是与的公因式,则与有相同的公因式（4）设,证明：若,则由①

3、知,故是,的一个公因式,是,的公因式由此可得,若有一个最大公因式,则也是的一个最大公因式反过来,若,则一定整除它们的组合二、最大公因式的存在性证明：分三步讨论：①假设，显然若中有一个为0，比如，则，且存在的一个最大公因式,且可以表成对中的任意两个多项式,在中必的一个组合,即,定理2.3.1----定理2.3.2:使③最后假设，由带余除法可得（1）（2）（3）如此继续下去,由于所得余式的次数不断降低,所以经过有限次后,必有余式为零,可设为照此继续代入下去.就可以得到所要求的式子:由性质(1)及(4)知是与的一个最大公因式

4、.又由上面(1)式,有代入(2)式有注意：1º多项式的最大公因式不随数域的扩大而改变。(带余除法的商式和余式不随数域的扩大而改变,由于辗转相除法是作一系列的带余除法,所以最后那个不为零的余式也不随数域的扩而改变)但是下面命题是正确的。例：显然不是与的最大公因式3º定理中的逆命不成立，是与的一个最大公因式”，这个命题是错的。即“若可以用中的一个不为零的数乘以被除式或除式2º对进行辗转相除法时,为避免分数系数,(在过程也行)解：利用辗转相除法，有4º若且，使，则是与的一个最大公因式使例1：设求和，用等式写出来，就是而由得选

5、取三、多项式互素注：零多项式与任何多项式都不互素。1.定义：，若，则称是互素的2.Th3：使得，若3.性质证明：由，可知有使即①若，且，则②证明：（法一）由，有（1）且由①知：即，代入（1）有（法二）由，则有故——（2）又由代入（2）式即可得，结论成立③证明：则——（1）若是与任一公因式，则由（1）可知。再由，故，由的任意性，知为非零常数。证明：设是的最大公因式，则若，则由而为非零常数知：，又4.最大公因式和互素的推广仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式。②若，则①定义：，称为的一个最大公因式，若满足易知，如果的最大

6、公因式存在，并且，使则的最大公因式也存在，即有（用数学归纳法证明S个多项式的最大公因式的存在性）注：互素不一定两两互素如：是互素的，但则称互素互素：若，作业：3、5、6、8、10