第二节非线性光学极化率.doc

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1、第二节非线性光学极化率一密度矩阵表述法（一）刘维方程:非线性光学极化率是介质的特征性质――与介质的电子和分子结构的细节有关――量子力学计算――密度矩阵表述法――最方便的方法，特别当必须处理激发的弛豫时.令是在电磁场影响下物质系统的波函数.密度矩阵算符：（2.1.1）物理量P的系综平均由下式给出：（2.1.2）（2.1.3）该方程称作刘维方程（Liouville’sequation）.哈密顿算符是由三部分组成：（2.1.4）1)是未受扰动的物质系统的哈密顿算符，其本征态是，而本征能量是，；2)是描述光与物质相互

2、作用的相互作用哈密顿算符；3)而是描述系统周围的热库施于该系统随机的扰动的哈密顿算符.Hint在电偶极矩近似下，相互作用哈密顿算符由下式给定：（2.1.5）在这里将只考察电子对极化率的贡献.对于离子的贡献，就必须用—代替,其中qi和分别是第i个离子的电荷和位置.H随机哈密顿算符是造成物质激发的弛豫的原因，或者换言之，它是造成被扰动了的ρ弛豫回到热平衡的原因.于是我们可以把式（2.1.3）表示成（2.1.6）其中ρ的矩阵元的物理意义:将本征态作为基矢，并把写成的线性组合：，那么，ρ的矩阵元的物理意义就十分清楚了

3、.矩阵元表示系统在态中的布居，而非对角矩阵元表明系统的态具有和的相干混合.在和有混合的情况下，如果与的相对相位是随机的（或不相干的），那么，通过系综平均后就有。寻找（）弛豫表达式.布居的弛豫是系统与热库的相互作用引起的态之间的跃迁的结果.令Wn-n’是由热引起的丛态到态的跃迁的速率.于是，中的过剩布居的弛豫速率应是弛豫=（2.1.8）在热平衡时，就有（2.1.9）因此，也可以把式（2.1.8）写成（2.1.10）非对角元的弛豫更复杂.然而，在一些简单的情况中，预期相位相干性指数的衰减到零.这样，对于nn’,我

4、们有（2.1.11）这里是态与之间的特征弛豫时间.在磁共振中，布居的弛豫称作纵向弛豫，而非对角矩阵元的弛豫称作横向弛豫.在某些情况下，态的纵向弛豫能用下式来近似：（2.1.12）这样，T1叫做纵向弛豫时间.相应的T2叫做横向弛豫时间.（二）微扰法解刘维方程在计算中采用微扰展开.令（2.1.13）其中（2.1.14）式中是热平衡的系统的密度矩阵算符，而且我们假设在介质中没有固有极化，因而.把的级数展开式代入式（2.1.6），再把视为一级微扰，相同级的相收集在一起，就得到（2.1.15）我们在这里感兴趣的是对能分

5、解成傅立叶分量的场ℰi的响应.于是，由于和算符也能展开成傅立叶级数当时，就能从式（2.1.15）具体的逐级解出.第一级解是（2.1.16）这里我们采用了记号.可以很容易得到更高级的解，尽管这种推倒是冗长乏味的，每当在推导中出现对角元时，为了得到一个封闭的解，常常必须对式（2.1.8）中的作进一步的近似.我们还需提及，只要式（2.1.16）中的表达式即使在n=n’时也是适用的，因为那时可在计算机中略去这一项.二．非线性极化率的微观表达式非线性极化强度和非线性极化率的完全的微观表达式得到的.在式（2.1.14）和

6、（2.1.16）中，当Hint=e和时，很容易得到由电子贡献引起的一阶和二阶极化率.用明显的笛卡儿张量标记，这些极化率就由下列各式给出：一阶：χij(1)=pi1(1)(ω)/Ej(ω)=注意：ij＝1，2，3共有9个分量。二阶：(2.2.)在中有两项，而在中有8项.注意：有27个分量三阶：（），它总共48项.在文献（5）中给出了的完全表达式，这里就不在重述了.的共振结构以后要在第十四章里讨论.在非共振的情况下，可以忽略式（2.1.17）的分母中的衰减常数.注意到这时的表达式中最后两项变成二阶极化率就能被简化

7、成只有6项的形式.当N表示每单位体积内的原子或分子数时，表达式（2.2.1）实际上对于气体或分子液体或分子固体是比较合适的，而由玻尔兹曼分布所给定.对于电子性质由能带结构来描述的固体，其本征态是布洛赫态，而对应于费米分布.这时和的表达式应作适当的修改.由于能带的态基本上是连续的，故可忽略去分母中的衰减常数.在忽略了光子的波矢关系的电偶极矩近似中，对于这样的固体，具有形式=-+++++（2.2.2）式中表示电子波矢，v,c,和c’是带的指标，而是态的费密分布因子.对于凝聚态物质，应存在一个由感生的偶极矩-偶极矩

8、相互作用产生的局域场.于是一个局域场修正因子要作为一个乘数因子出现在中.我们将在第四节中较仔细的讨论这种局域场修正.对于固体中其波函数扩展到许多个晶胞上的布洛赫（带态）电子来说，这种局域场会有被平均掉的趋势，因而也许接近于1.讨论：1大致估计极化率的数量级2考察何时可作为微扰比较与知：当时才可用级数展开3结构对称性对极化率有简化4极化率的共振增强特性记住：1。与rr，能级共振有关2．与rrr，能级共