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《高数（下）期中试卷（二）及解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高数(下)期中试卷(二)学号________.姓名_______.得分_________.一.填空(每小题3分,共15分)1.设由确定,则.2.母线平行于Z轴,准线为两曲面,与的交线的柱面方程为__________.3.直线的对称式方程为____________.4.将转化为极坐标系下的二次积分,则I=_______.5.已知,则梯度二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.已知在点处的偏导数均存在,则()A．在A点处一定可微;B.在点A处一定连续;C.在处一定连续;D.上述A,B,C均不对.2.若在有界闭区域D内可微,则在D上的()A.驻点必是极值点;B.极值点必
2、是驻点;C.极值点必是最值点;D.最值点必是极值点.3.设;其中D由;围成.则的大小关系是().A.;B.;C.;D.不能比较的大小.4.设区域D为圆心在原点,半径为1的圆域,区域为D在第一象限部分,则().A.;B.;C.;D..5.下列方程表示旋转抛物面的是().A.;B;C.;D..一.试解下列各题(每小题7分,共28分)1.设平面通过Z轴,且与平面的夹角为,求平面的方程.2.设,求.3.计算1.设曲线,求函数在点(1,2,1)处沿上述曲线在该点处切线方向(与轴成锐角)的方向导数.二.设为曲面和所围成的空间封闭图形,求的体积V.(8分)三.计算,其中是由曲面及
3、所围成的封闭空间区域.(10分)四.在曲面的第一封限上取一点,过该点作曲面的切平面,求切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积.(10分)五.在一个半径上拼接一个同半径的高为H的圆柱体,使整个物体的重心恰好位于球心,试求半径R与高H之间的关系.(10分)六.证明:(4分)题解:一、填空题(每小题3分,共15分):1.设由确定,则.解:;设;;.2.母线平行于Z轴,准线为两曲面,与的交线的柱面方程为__________.解:曲线所求的柱面方程:.3.直线的对称式方程为____________.解:直线的方向:若取用点向式:.4.将转化为极坐标系下的二次积分,则I=_
4、______.解:.5.已知,则梯度解:所以:二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.已知在点处的偏导数均存在,则()A．在A点处一定可微;B.在点A处一定连续;C.在处一定连续;D.上述A,B,C均不对.2.若在有界闭区域D内可微,则在D上的()A.驻点必是极值点;B.极值点必是驻点;C.极值点必是最值点;D.最值点必是极值点.3.设;其中D由;围成.则的大小关系是().A.;B.;C.;D.不能比较的大小.解:所以:4.设区域D为圆心在原点,半径为1的圆域,区域为D在第一象限部分,则().A.;B.;C.;D..解:区域D关于X轴对称,也关于Y轴对称.若,曲面
5、是关于坐标面对称,若,曲面是关于坐标面对称.若要出现,需要现在:实际上也可以:.5.下列方程表示旋转抛物面的是().A.;B;C.;D..三、试解下列各题（每小题7分，共28分）1、设平面通过Z轴,且与平面的夹角为,求平面的方程.解:由于平面通过轴,故可设其方程为,其法向量为,而平面的法向量为,两平面的夹角为,所以,,或,所以:所求平面为或.2、设,求.解:，,,所以.3、计算解:交换积分次序，.4、设曲线,求函数在点(1,2,1)处沿上述曲线在该点处切线方向(与轴成锐角)的方向导数.解:切线方向.或:视参数为;切线方向，在处，切线方向在处，四、设为曲面和所围成的空
6、间封闭图形,求的体积V.(8分)解:的投影为:，(1)由于没有这个条件,那么要考虑锥的上,下两部分.(关于对称)(2)顶部:(被积函数,关于面对称)底:五、计算,其中是由曲面及所围成的封闭空间区域.(10分)解:两张曲面的交线为,得,1所以所围立体在坐标面上的投影区域为,利用柱面坐标计算,得.六、在曲面的第一封限上取一点,过该点作曲面的切平面,求切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积.(10分)解:设切点为,满足,;曲面的切平面的法向量为,所以切平面方程为,即;平面的截距式:截距分别为,,,所以所围四面体的体积为,目标函数:.约束条件,()构造拉格朗日函数为:令
7、:驻点唯一;由实际问题,为最小值点,最小值为.也可以:(但解方程组不方便),令,解得唯一驻点,由实际问题,为最小值点,最小值为.七、在一个半径上拼接一个同半径的高为H的圆柱体,使整个物体的重心恰好位于球心,试求半径R与高H之间的关系.(10分)解:建立坐标系如图,由对称性,,R而,所以只需,-H由于,解得.八、证明:(4分)证明:交换积分次序,得.
