2008-2009高数2期中试卷解答.doc

《2008-2009高数2期中试卷解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线西南交通大学2008－2009学年第(2)学期期中考试试卷解答2009．4一、选择题（每小题3分，共计15分）1、下列微分方程中，通解是的方程是。()．；　()．；()．；　()．。2、微分方程的特解形式是A。()．；()．；()．；()．。3、设为可微函数，，则。()．1；()．；()．；()．。4、设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则。()．；()．；()．；()．。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为。()．；()．；()．；()．。二、填空题（每小题4分，共计24分）1、设，则，在点处的梯度。2、已知是

2、微分方程的解，则此方程的通解为。（提示：也是此方程的一个解）3、由曲线所围成的闭区域，则=。4、函数在点处从点到点的方向导数是。，，，5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。注意：，点；法平面方矢。6、改变积分次序。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求微分方程的特解。解：令，则，原方程化为，解出。将代入得。所以微分方程为。积分得，将代入得。于是，即。因为曲线过点，所以应为非负，故所求解为2、用两种(齐次方程、一阶线性)方法求微分方程的通解。1）齐次方程：；令，则原方程变为：，时，有，从而，即为解，显然即为特解。2）时原方程变为一阶线性微分方程：。，为特解。3、已知具有二阶连续

3、偏导数，利用线性变换变换方程。问：当取何值时，方程化为。解：，。，，所以时，应满足一元二次方程且。解得，取其任一值时，方程化为。4、求椭球面的平行于平面的切平面方程。解：设切点为，则，过切点的法向量为：，得，代入，得，切点为或，，故切平面方程为：或。5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。解：设过点的平面方程为，即化为截距式方程。平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为由，，得平面的法矢满足。取，所求平面为。6、求。解：先交换积分次序=。7、设区域，证明：。解：在区域内，。，所以。四、每小题6分，共计12分1、设，用方向导数的定义证明：函

4、数在原点沿任意方向的方向导数都存在。证明：因为，所以。由于式中为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的方向导数都存在。2、设，若是连续可微的函数，求。解：时，求导得。所以满足微分方程。解得。