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1、安康学院2009—2010学年第一学期期末考试试卷（A卷）课程名称高等代数课程编号考试班级08数教专任课教师魏春强题型填空题单选题判断正误计算题证明题总分分值2020103020100得分得分评卷人一、填空题（每小题2分）1.四元实二次型的秩为3,正惯性指数为2,则的典范形式为____________．2.设是线性空间的一个线性无关的向量组，则L()的维数为_______．3.设向量空间的线性变换,为：()=(),()=(0,),则(+)()=.4.线性变换关于基,,的矩阵为，则关于基,,2的矩阵为_____________.5.设A数域P上级方阵，且A
2、不可逆，A的特征多项式=，则=_______.6.在向量,中,与向量正交的向量是_________.7.在欧氏空间中,函数的长度为__________.9.实对称矩阵的特征根都为______数．10.若A既为实对称矩阵又为正交矩阵，则=___________.得分评卷人二、单选题（每小题2分）1.两个元实二次型等价的充要条件是()(A）秩相等;(B)正惯性指标相等;(C)符号差相等;(D)秩相等且符号差相等.2.关于向量组极大无关组的结论,下面有()个正确．(Ⅰ)任何向量组都有极大无关组；(Ⅱ)任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组；(Ⅲ)若极大无关组
3、存在则唯一；(Ⅳ)极大无关组存在不唯一,但彼此等价．(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．3.设是V的一个线性变换,则下面结论不成立的是()(A)（V）=V是满射；(B)-1(0)={0}是单射；(C)若是V的基,则,…,也是V的基；(D)关于基的矩阵为A,则可逆A可逆．4.下面关于线性变换A的特征值的结论正确的是().(A)任何线性变换都有特征值；(B)维欧氏空间中的线性变换有个实特征值；(C)若A有个特征值,则A一定能对角化；(D)A的属于不同特征值的特征向量线性无关．5.已知:=(),=()是线性空间中的任意两个向量,如下定义的二元实函数(,)中
4、,可使成为欧氏空间的是().(A)(,)=－;(B)(,)=+;(C)(,)=(+)+(+2);(D)(,)=++16.为欧氏空间中的两个非零向量,则()=0是正交的（）(A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)非充分非必要条件;(D)充要条件.7.设A为正交矩阵，则（）不是正交矩阵(A)；(B)；(C)；(D)2A8.设V是欧氏空间,下面结论不成立的是()(A)；(B)；(C)；(D)．9.设A是欧氏空间的一个线性变换,则下面结论()不正确.(A)A保持向量的内积不变，则A是正交变换；(B)A保持向量的长度不变，则A是正交变换；(C)A保持向量
5、的夹角不变，则A是正交变换；(D)A将标准正交基变成标准正交基，则A是正交变换．10.下列命题正确的是()(A)正交矩阵的行列式值等于1；(B)正定矩阵必相似于单位矩阵；(C)正定矩阵必合同于单位矩阵；(D)以上结论都错．得分评卷人三、判断正误（每小题2分）1.设,，则(+)2=2+2+2．()2.一个线性变换关于不同基的矩阵可能相同．()3.设是欧氏空间V的一个基,,若(=1,2,…,n)，则=0．()4.正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.()5.数乘变换是对称变换也是正交变换.()得分评卷人四、计算题（每小题15分）1.已知3维线性空间的一组基，设，，（
6、1）证明也是的一组基；（2）求由基到基的过渡矩阵；（3）求向量在基下的坐标.2.用正交的线性替换将二次型=化为标准形．得分评卷人五、证明题（每小题10分）1.证明：若矩阵与相似,则.2.设是线性变换的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是的特征向量
