高等代数专插本试卷总汇.doc

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1、广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编试题一考核课程：《高等代数》（上）考核类型：考试考核形式：闭卷学生院系：年级：试卷：题号一二三四五六七总分得分得分一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1．若整系数多项式在有理数域可约，则一定有有理根．（）2．若、均为不可约多项式，且，则存在非零常数，使得．（）3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变．（）4．若矩阵的所有级的子式全为零，则的秩为．（）5．若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数．（）6．若向量组（）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合．（

2、）7．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同．（）8．若矩阵、满足，且，则．（）9．称为对称矩阵是指．若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵．（）10．设级方阵、、满足，为单位矩阵，则．（）得分二、填空题：（每小题2分，共20分）1．设，则与的最大公因式为．2．设，用除所得的余式是函数值．3．多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得．4．一个级矩阵的行（或列）向量组线性无关，则的秩为．5．线性方程组有解的充分必要条件是．6．设矩阵可逆，且，则的伴随矩阵的逆矩阵为．7．设、为阶方阵，则的充要条件是．46孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班

3、成伟滔编8．设、都是可逆矩阵，若，则．9．若，则向量组必线性．10．一个齐次线性方程组中共有个线性方程、个未知量，其系数矩阵的秩为，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为．得分三、计算题（每小题5分，共20分）1．求多项式与的最大公因式．2．（级）3．设，给出可逆的充分必要条件，并在可逆时求其逆．4．求向量组、、的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．得分四、设向量组线性无关，而向量组线性相关，证明：可以由线性表出，且表示法唯一．（本大题10分）得分五、设是一个秩为的矩阵，证明：存在一个秩为的矩阵，使．（本大题10分）46孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。广东石油化

4、工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编得分六、（10分）设，．（1）计算及；（2）证明：可逆的充分必要条件是；（3）证明：当时，不可逆．（本大题10分）得分七、设线性方程组为讨论为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）．（本大题10分）46孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编试题一参考答案及评分标准课程名称：高等代数（下）执笔人：胡付高一、判断题（每小题2分，共20分）（1）×；（2）√；（3）√；（4）×；（5）√；（6）√

5、；（7）×；（8）×；（9）×；（10）√．二、填空题（每小题2分，共20分）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等；（6）；（7）；（8）；（9）相关；（10）三、计算题（每小题5分，共20分）1．．注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式，得到最大公因式，也给满分．2．解：原式．3．解：因为，所以可逆的充分必要条件是．…………………（2分）的伴随矩阵…………………（4分）故…………………（5分）注：本题在得到可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法．院系负责人签字　　　　　　4．由，可知为向量组的一个极大线性无关组，46孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。广东

6、石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编…………………（3分）且有．…………………（5分）注：本题也可以先说明其秩为2，故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意两个向量线性无关），或其它方法均可．四、证明（1）由线性相关，存在不全为零的数，使…………………（2分）又由线性无关，得（否则，线性相关，矛盾），于是有；…………………（5分）（2）设，，则，即，…………………（8分）由于线性无关，故，即（）．…………………（10分）五、证明考虑齐次线性方程组，因为秩，故存在基础解系，作矩阵，则，…………………（6分）由于的个列向量线性无关，故有秩．…………………（10分）

7、注：本题的另一证法是：由秩，存在可逆矩阵使，即，取，则．（的取法不唯一）．六、（1），．　…………………（4分）46孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编（2）由于，故可逆的充分必要条件是，即．　…………………（7分）（3）当时，由于，故不可逆．…………………（10分）注：对（3）直接证明的，只要方法正确，也给满分．七、解由于系数行列式