C5-031求和抛物线y=x2相切抛物线y=-x2+bx+c顶点轨迹.doc

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1、C5－031求与抛物线y＝x2相切的抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点的轨迹．【题说】第十七届（1991年）全俄数学奥林匹克九年级题1．【解】抛物线y＝x2与y＝－x2＋bx＋c相切的充要条件是2x2－bx－c＝0有唯一解，即△＝b2＋8c＝0所以c＝－b2/8．抛物线y＝－x2＋bx－b2/8的顶点为x＝－b/－2＝b/2，y＝b2/8．消去b得所求的轨迹：仍是一条抛物线． C5－032在坐标平面上，设方程y2＝x3＋2691x－8019所确定的曲线为E，连接该曲线上的两点（3，9）和（4，53）的直线交曲线E于另一点，求该点的横坐标

2、．【题说】1992年日本数学奥林匹克预选赛题3．【解】容易求得所给直线的方程为y＝44x－123，将它代入曲线方程并整理得由方程根与系数的关系可知，所求的横坐标为1936－（3＋4）＝1929． C5－033已知圆的方程为x2＋y2＝4，试在坐标平面上求两点A（s，t）、B（m，n），使下列两条件满足：（1）圆上任一点到A点的距离与到B点的距离之比为定值k；（2）s＞m，t＞n，且m、n均为正整数．【题说】1993年江苏省高中数学竞赛一试题4．【解】设圆上任意一点为P（x，y）则取P1（2，0），P2（－2，0），得从而       

3、                          s＝k2m再取P3（0，2），P4（0，－2）又得t＝k2n                                             （3）化简为                          k2（m2＋n2）－4＝0所以  m＝n＝1，k2＝2，所求点为（2，2），（1，1）． C5－034设P（x，y）为

4、5x＋y

5、＋

6、5x－y

7、＝20上一点．求x2－xy＋y2之最大、最小值．【题说】第三届（1993年）澳门数学奥林匹克第一轮题4．【解】方程图像，即x＝2，

8、x＝－2，y＝10，y＝－10四直线围成的矩形，其顶点为A（2，－10），B（2，10），C（－2，10），D（－2，－10）．由对称性仅需在AB、BC边考虑．在AB上，Q＝x2－xy＋y2＝4－2y＋y2＝3＋（1－y）2所以                     3≤Q≤124（＝3＋（1＋10）2）同理，在BC上，84≤Q≤124．所以Q最大＝124，Q最小＝3C5－037已知实数a满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线y＝x3＋ax上，试求该正方形的边长．【题说】1993年德国数学奥林匹克（第二轮）题2．【解】设正方形

9、的四个顶点为A、B、C、D，那么ABCD的中心为原点O．否则，由于y＝x3＋ax为奇函数，因此A、B、C、D关于O点的对称点A′、B′、C′、D′也在曲线上，且A′B′C′D′也是正方形，与题设矛盾．设四点为A（x0，y0），B（－y0，x0），C（－x0，－y0），D（y0，－x0），其中x0＞0，y0＞0，则（1）×x0＋（2）×y0，得（1）×y0－（2）×x0，得由（3）、（4）得a＝－r2（1－2sin2θcos2θ）消去r2，得关于sin2θ的方程（1＋a2）（sin22θ）2－（4＋a2）sin22θ＋4＝0因sin22

10、θ在（0，1）内只有一个根，所以△＝（a2＋4）2－16（1＋a2）＝a4－8a2＝0 C5－038在圆C∶（x－1）2＋y2＝2上有两个动点A和B，且满足条件∠AOB＝90°（O为坐标原点），求以OA、OB为邻边的矩形OAPB的顶点P的轨迹方程．【题说】1994年全国高中数学联赛河北省预赛一试题3．【解】设各点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．依题意，由（1）＋（2）得因为OAPB是矩形，有x1＋x2＝x                                        （5）将（4）和（5）代入（

11、3）得[别解]设圆心为D，矩形OAPB的中心为Q，则由平行四边形性质2（DP2＋DO2）＝OP2＋4DQ2＝AB2＋4DQ2＝2（DA2＋DB2）从而DP2＝2DA2－DO2＝2×2－12＝3（x－1）2＋y2＝3 C5－039已知P点在圆x2＋（y－4）2＝1上移动，Q点在椭【题说】1994年四川省高中数学联赛题二（5）．【解】如图，先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时，

12、PQ

13、最大，因而欲求

14、PQ

15、的最大值，即求

16、O1Q

17、的最大值．设Q的坐标为（x，y），则

18、O1Q

19、2＝x2＋（y－4）2                

20、                                                           （1）x2＝9（1－y2）                             （2）（2）代入（