方阵的行列式.ppt

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1、§1.3方阵的行列式令§1.3.1二阶行列式考虑二元线性方程组则方程组(1.1)可表示为A为方程组(1.1)的系数矩阵。2用消元法解二元线性方程组(1.1)，有当时，可得方程组(1.1)的惟一解：3引入记号称为矩阵的行列式，还可记为detA,或

2、A

3、,即detA=

4、A

5、=ac-bd。4对于上述二元线性方程组，若记则方程组(1.1)的解可表示为：说明：系数矩阵A与矩阵B1,B2的关系：5例1解方程组解：由于则方程组的解为：6§1.3.2.n阶行列式余子式和代数余子式设A=(aij)是数域F上的n阶矩阵。划去A的元aij所在

6、的第i行第j列,A中余下的(n-1)2个元素按原来的位置组成n-1阶方阵的行列式，称为元aij的余子式，记作Mij。令称Aij为元素aij的代数余子式,i,j=1,2,…,n.7第1行元素a11,a12的余子式分别为如二阶矩阵显然，detA=a11A11+a12A12。M11=a22,M12=a21,对应的代数余子式为A11=(-1)1+1M11=a22,A12=(-1)1+2M12=-a21。8(1)一阶方阵A=(a11)=a11,定义即由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这个数本身。(2)假设n-1阶阶方阵的行列式

7、已经定义,利用递推方法给出n阶行列式的定义。n阶行列式递推定义：9定义1.8设n阶矩阵A=(aij)的行列式detA(n阶行列式)定义为式(1.2)中Ai1,Ai2,…,Ain是第i行各元素的代数余子同理，有式(1.2)中A1j,A2j,…,Anj是第j列各元素的代数余子式(i=1,2,…,n)。(1.2)称为detA按第i行的展开式.式(j=1,2,…,n)。(1.3)称为detA按第j列的展开式.10由n阶方阵A确定的行列式可记为

8、A

9、,或

10、aij

11、,或矩阵的行列式按第一行展开为1112对角线法则注意红线上三元素的乘

12、积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.13例2求detA。解1：设14解2:利用对角线法则计算：15例3计算下三角形矩阵的行列式解：16同理，有17§1.3.3行列式的性质性质1设A为n阶矩阵，则det(AT)=detA。性质2设交换n阶矩阵A的某两行或列，得到矩阵B，则det(B)=-detA。推论若n阶矩阵A有两行或列相同元素,则det(A)=0。性质3若用数k乘以n阶矩阵A有的

13、某一行或一列，则得到的矩阵的行列式等于detA的k倍，即18推论1若n阶矩阵A有一行(列)元全为零,则detA=0。推论2若n阶矩阵A有两行(列)成比例,则detA=0。19性质4若行列式的某一行(或列)的每一个元素均可表示为两个数的各，则该行列式等于两个行列式的和，即性质5将n阶矩阵A的某行(或列)的k倍加到另一行(或列)，得到n阶矩阵B，则detA=detB。20例4计算4阶行列式解：分析：若能够将行列式化成上(下)三角形行列式，则计算就方便。原式2122定理1.1设n阶矩阵A=(aij),则(1)A=(aij)的第

14、i行与第k行(ki)元素的代数余子式的乘积之和等于零，即(2)A=(aij)的第j列与第l列(lj)元素的代数余子式的乘积之和等于零，即23定理1.2设n阶矩阵A=(aij),则定理1.3设A、B为n阶矩阵,则有推广24例5.计算n阶行列式§1.3.4行列式的计算其中25解：将行列式第1行的(-1)倍分别加到其余各行,得原式=2627例6.计算n阶行列式其中28解：将行列式第2,3,…,n列加第1列,得原式=2930例7.计算n阶行列式31解：将行列式第2,3,…,n列加第1列,得3233(n-1)阶34(n-1)阶

15、(n-2)阶35(n-2)阶363738例8计算解：将D4的第2、3、4行都加到第1行，则39将第2、3、4列都减去第1列，则404142评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行列）化成只含有一个非零元素，然后按此行(列)展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止(一般展开成二阶行列式)．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．43例9.计算n(n>1)阶行列式44解：将行列式按第1列展开,得原式=45例10证明:范德蒙德(Vandermonde)行列式46其中表示所有可能的

16、的乘积，即47分析:由于此行列式是与自然数n相关的结论，证明：(1)当n=2时，有因此可用数学归纳法进行证明。(2)假设对于n-1阶的范德蒙行列式结论成立，下证对于n阶的范德蒙行列式结论也成立。48根据归纳假设，有因此，有根据数学归纳原理，对于一切自然数n2,结论均成立。49解rn-x1rn-1,rn-1-x1rn