第二章-方阵的行列式(第二讲).ppt

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1、§2.方阵行列式的性质有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。性质1若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：即证明设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n，C=(cij)n×n，其中A的第j列元素是B、C第j列对应元素之和，A、B、C其余各列元素相同，即于是，由行列式的定义=

2、B

3、+

4、C

5、.=性质2方阵A与其转置矩阵AT的行列式

6、值相等.即

7、A

8、=

9、AT

10、。

11、AT

12、证明显然bij=aji，按定义有由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。

13、AT

14、证明设性质3若方阵A的第i行(列)k倍所得的矩阵为B，则

15、B

16、=k

17、A

18、.于是推论2.1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.即例如性质4若方阵A经过一次换法变换化为B,则

19、B

20、=-

21、A

22、.证明　设n阶方阵其中B是A交换i、j两行而得的矩阵，显然有于是=-

23、A

24、.推论2.2如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零.证明把这两行

25、互换，有D=－D，故D=0.推论2.3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.例如性质5消法变换不改变行列式的值。即若B=P(i,j[k])A或B=AP(i,j[k])，则

26、B

27、=

28、A

29、.此性质由性质1及推论2.3即得。例1计算。解利用行列式的性质=40。例2.计算。解利用行列式的性质得例3计算。解从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。同理，可得。例4计算解把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。方阵的行列式是矩阵的一种运算，根据相应的性质，方阵的行列

30、式具有如下的运算规律。设A、B均为n阶的方阵，λ为常数，m为正整数，则1）

31、λA

32、=λn

33、A

34、;2）

35、AB

36、=

37、A

38、

39、B

40、;3）

41、Am

42、=

43、A

44、m.1)显然，3）是2）的特例，所以，我们仅证明2）设A=(aij),B=(bij)。记2n阶行列式显然，D=

45、A

46、

47、B

48、,而在D中以b1j乘第1列，b2j乘第2列，…，bnj乘第n列,都加到第n+j列上（j=1,2,…,n),有即其中C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj,故C=AB。再对D的行作rj↔rn+j（j=1,2,…,n），有从而有于是

49、AB

50、

51、=

52、A

53、

54、B

55、。D=(－1)n

56、－E

57、

58、C

59、=(－1)n(－1)n

60、C

61、=

62、C

63、=

64、AB

65、。值得注意的事，一般

66、A+B

67、≠

68、A

69、+

70、B

71、.例6：设A,B均为n阶方阵且证明