2016考研数学复习之微分方程(二).doc

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1、2016考研数学复习之微分方程（二）来源:文都教育在《2016考研数学复习之微分方程（一）》中，文都考研数学老师总结了一阶常微分方程常考类型及解题方法，本篇接着来总结可降阶类型的做题方法，这一部分是本章的重点也是难点。可降阶的高阶微分方程及其解法1．方程解法：这个方程的特点是它的右端不含未知函数及其1至n-1阶导数，用逐次求不定积分的方法可求得方程的通解.方程可改为将上式两边分别求积分，得n-1阶微分方程再按同样的方法积分n-1次，即可得所求方程的通解.2．方程解法：这个方程的特点是它的右端不显含，令，则，代入方程，其化为一阶微分方程解此一阶微分方

2、程，可求得其通解，设它为，因，于是原方程的通解为.3.方程解法：方程的特点是方程右端不显含自变量x，令则，代入原方程得关于的一阶微分方程设此方程的通解为，即，在分离变量后，便可求得原方程得通解.4．高阶线性微分方程（1）基本概念（4.1）为阶齐次线性微分方程．（4.2）为阶非齐次线性微分方程．若，则（4.2）可分解为如下两个方程：（4.3）（4.4）（2）解的性质和结构①若为齐次线性微分方程（4.1）的一组解，则也是（4.1）的解．②若为非齐次线性微分方程（4.2）的一组解，则：为（4.1）的解．：为（4.2）的解．③设分别为（4.1）和（4.2）

3、的解，则为（4.2）的解．④设为（4.2）的解，则为（4.1）的解．⑤设分别为（4.3）和（4.4）的解，则为（4.2）的解．⑥设为阶齐次线性微分方程（4.1）的个线性无关的解，则（4.1）的通解为（为任意常数）．⑦设为阶齐次线性微分方程（4.1）的个线性无关的解，为（4.2）的一个特解，则（4.2）的通解为（为任意常数）．（3）高阶常系数微分方程的解法①二阶常系数齐次线性微分方程及解法方程形式：（其中为常数）．特征方程：．通解形式：（）时，有两个不同的根，则（为任意常数）；时，有两个相同的根，则（为任意常数）；时，的根为虚根，则（为任意常数）．②

4、三阶常系数齐次线性微分方程及解法方程形式：（其中为常数）．特征方程：．通解形式：若特征值为实单根，则通解为；若特征值为实单根，则通解为；若特征值为实单根，则通解为；若，则通解为．③二阶常系数非齐次线性微分方程及解法方程形式：．通解：齐次的通解+其一个特解，其中特解的求法分两类．类型一：，其中为次多项式．：当不是特征根时，令特解．：当是单特征根时，令特解．：当是二重特征根时，令特解．类型二：，其中分别为次多项式．：当不是特征值时，令特解．：当是特征值时，令特解．其中，且为两个次多项式．本章复习其实比较简单，因为针对每一种常微分方程，都有一套系统的解题

5、步骤，我们要做的只是把这几种类型记住即可。希望以上内容对大家与所帮助。