线性代数 第三章 线性方程组ppt课件.ppt

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1、第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法§3.2§3.3公元前1世纪,《九章算术》:初等行变换,相当于高斯消元法17世纪后期,德国数学家莱布尼茨:含两个未知量三个方程的线性组18世纪上半叶,英国数学家麦克劳林:具有二、三、四个未知量的线性方程组得到了现在称为克莱姆法则的结果瑞士数学家克莱姆不久也发表了这个法则18世纪下半叶，法国数学家贝祖:对线性方程组理论进行了一系列研究证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零19世纪，英国数学家史密斯和道奇森:前者引进了方程组的增广矩阵的概念后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩

2、阵和增广矩阵的秩相同第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齐次线性方程组(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齐次线性方程组(nonhomogeneous~)第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元

3、法设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),则解集(solutionset),同解(havingthesamesetofsolutions)vectorofunknownsvectorofconstants§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am

4、1am2…amn为(3.1)的系数矩阵[A,b]=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………am1am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵第三章线性方程组(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x

5、2x3=3x2+2x3=20=01/21对换变换(swapping)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)阶梯形方程组(echelonform)第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法x15x3=1x2+2x3=20=0x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0阶梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2=2x32x3=x3(任意)最简形(reducedechelonform)或写成向量形式由此可得原方程组的通解(generalsolution)x=5c+12c2c,其中c为任意数.第三

6、章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的初等变换第三章线性方程组对换变换(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程(multiplyingbyanonzeroscalar).§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方程组的有三中基本类型.2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5

7、x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=3第三章线性方程组例如:leadingvariablesfreevariables§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0无解有唯一解有无数解231102120001212802110015121120014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gaus