三角函数变换的技巧与方法.doc

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1、三角函数变换的方法与技巧(1)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。例1、已知，求证：。分析：在条件中的角和与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。解：，，二、函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为

2、正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。例2、(2001年上海春季高题)已知，试用表示的值。分析：将已知条件“切化弦”转化为的等式。解：由已知；。一、常数的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，，等等。例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子可联想到。解：。所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。二、公式的变形与逆用在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难

3、，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。例4、求的值。分析：先看角，都是，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。解：原式(切割化弦)(逆用二倍角公式)(常数变换)(逆用差角公式)(逆用二倍角公式)。这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。三角函数变换的方法与技巧(2)在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们

4、再介绍四种变换的方法与技巧：一、引入辅助角可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。例5、求的最大值与最小值。分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。解：其中，，当时，；当时，。注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。一、幂的变换降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：，和等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式常用升幂化为有理式。例6、化简。分

5、析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式二、消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例7、求函数的最值。解：原函数可变形为：，即，解得：，。三、变换结构在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。例8、化简。分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。解：所以。九、思路变化对于一道题，思路不同，方法出随之不同。通过分析，比较，才能选出思路最为

6、简例9、求函数的最大值。解：由于，则为点与点()连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：O(－２，０)此时，。捷的方法。