九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形相似多边形的性质的应用素材北师大.doc

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1、相似多边形的性质的应用　　1、相似多边形的性质　　（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．　　（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．　　（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．　　2、重要方法　　相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.　　相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段

2、的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．　　例1　一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）　　A．12　　　B．18　　　C．24　　　D．30　　【思路与技巧　由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.　

3、　∴，∴2x=36,x=18.　　答案　B　　点评　本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．　　例2　如图在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的长． 　　思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？　　（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？　　（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.　　解　∵EF∥AD

4、，四边形ABCD是平行四边形，　　AD=4∴EF=AD=4，　　∵□ABCD∽□EFDA，　　∴（相似多边形对应边成比例），　　又∵AB=6，　　　∴∴.　　点评　由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.　　例3　已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．　　思路与技巧　（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？　　（

5、2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？　　（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？　　解　∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD 　　∴EF∥CB，EG∥DC   　　∵∠1=∠2=45°∴EF=AF　　∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，　　∴正方形ABCD∽正方形AFEG，　　∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2　　（相似多边形的面积比等于相似比的平方），　　在△ABC中，EF∥CB∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，　　

6、又AB=6∴AF=4∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，　　∴.　　点评　本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．　　（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；　　（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似　　例4　已知：如图所示，△ABC中，DE//FG//BC．　　（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；　　（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．　　思路与技巧　注意在（2）中，

7、不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积．　　解　　　　　（1）　　　　令，则，　　　　　　　　　　（2）　　∴可设，则　　　　　　∴AD:AF:AB=1:3:6　　AD:DF:FB=1:2:3.　　点评　根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．　　例5　如图所示，△ABC的面积为16，，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC，分别交AC于E、G，设AD=x．　　（1）把△AD

8、E的面积S1，用含x的代数式表示；　　（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．　　思路与技巧　转化为相似三角形，利用其性质解决．　　解答：（1）　　，即　　　　（2）　　∵F为BD的中点，　　　　　　　　　　.　　例6　如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH//AD，HG//DC，GF//BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．　　思路与技巧　证明两个四边形的对应边