自动控制原理课件：离散系统.pdf

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1、离散控制系统的数学模型信号的采样与保持采样:将连续信号变为离散信号的过程r(t)e(t)e(kT)数字u(kT)u1(t)被控c(t)A/D计算机D/A对象f(t)采样反馈装置图3.1计算机控制系统框图采样信号的数学描述连续信号经过采样处理，得到离散序列+∞*()ft=∑f(kT)δ(t−kT)当t≠kTδ(t−kT)=0k=0+∞+∞*()f(t)=f(t)∑δ(t−kT)定义δTt=∑δ(t−kT)k=0k=0*采样信号的数学表达式：f(t)=f(t)δT(t)（3.1）δT(t)是周期函数+∞(t)=cejkωstδT∑k（3.2）k=−∞采样角频率：ωs=2π/TTTc

2、=12δ(t)e−jkωstdt=12δ(t)e−jkωstdt=1k∫TTT∫TTT−−22代入3.1式和3.2式，得到+∞1+∞f*(t)=f(t)ejkωst1jkωst∑=∑f(t)e（3.3）TTk=−∞k=−∞+∞*1jkωst对式(3.3)取拉氏变换，得F(s)=∑L[f(t)e]（3.4）Tk=−∞令F(s)=L[f(t)]，由拉氏变换位移定理，得+∞*1F(s)=∑F(s+jkωs)（3.5）Tk=−∞式(3.5)称为泊松(Poisson)求和公式。采样定理采样定理：若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入连续信号ω≥2ω*f(t)的两倍，即smax，则能够从采

3、样信号f(t)完全复现f(t)+∞*1令s=jωF(jω)=∑F(jω+jkωs)展开得Tk=−∞*111F(jω)=+F(jω−j2ωs)+F(jω−jωs)+F(jω)TTT1+F(jω+jωs)+T令ω=ωo+ωs得F*(jω+jω)=+1F(jω−jω)+1Fjωos0s(0)TT11*+F(jω0+jωs)+F(jω0+j2ωs)+=F(jω0)TT*()1()Fjω=FjωT3.1.2信号的保持1.零阶保持器一种常值规律外推的保持器。零阶保持器的作用是把某一采样时刻kT的采样值恒定地保持到下一个采样时刻(k+1)T，即在区间内t∈[kT,(k+1)T]零阶保

4、持器的输出值一直保持为f(kT)。数学模型：goh(t)=1(t)-1(t-T)−jωT频率特性1−eGoh(jω)=jωωTωTωTj−jωTωT2−je2−e22−jωTsin−jωTGoh(jω)=e2=e2sin=T2e2ωj2ω2ωT2ωTsinGoh(jω)=T⋅2ωT2ωT−ωTsin≥022∠Goh(jω)=ωTωT−πsin022ωTsinlim2=1采样周期T取得越小，上述差别也就越小T→0ωT22.一阶保持器一阶保持器是一种基于两个采样值f(kT)与f[(k−1)T]线性外推规律恢复离散信号的保持器。它的外推输出为f(kT+τ)=f(kT)+f

5、(kT)−f[(k−1)T]τ(0<τ

6、∞−k∑f(k)zk=0收敛，则定义该级数为离散序列{f(k)}，k=0,1,2,…的Z变换，或称为单边Z变换，记为Z{f(k)}或F(z)即+∞−kZ{f(k)}=F(z)=∑f(k)z(z>R)k=02.L变换与Z变换+∞f*(t)=∑f(kT)δ(t−kT)n=0+∞*f(kT)e−kTsF(s)=∑k=0TsF(z)=F*(s)

7、z=e1S=lnzTZ变换的基本定理(1)线性定理设函数f(t)、f1(t)和f2(t)的Z变换分别为F(z)、F1(z)和F2(z),且a为常数或为与t和z无关的变量,则有Z[af(t)]=aF(z)Z[f(t)+f(t)]=F(z)±F(z

8、)1212(2)滞后定理设函数f(t)的Z变换为F(z)，则有−1−m−kZ[f(t−mT)]=z[F(z)+∑f(kT)z]k=−m若当t<0时,f(t)=0则有−mZ[f(t−mT)]=zF(z)m−1m−kf(mT)=limz[F(z)−∑f(kT)z]m=0,1,2,…z→∞k=0（5）终值定理设函数f(t)的Z变换为F(z)，且(z-1)F(z)在Z平面以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点，则有f(∞)=limf(t)=limf(kT)=lim(z−1)F(z)t→∞k→∞z→1Z